Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
7. Sistemas de Ecuaciones: ¿Qué Método Usar? La Estrategia
Sistemas de Ecuaciones: ¿Qué Método Usar? La Estrategia
Ya conoces las herramientas, ahora elige estratégicamente
Ya aprendiste tres métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción. Aunque la mayoría de los sistemas puede resolverse por distintos métodos, conviene elegir el camino más eficiente.
Elegir bien el método ayuda a ahorrar tiempo, reducir cálculos innecesarios y evitar errores.
Comparando nuestros métodos algebraicos
Guía rápida de elección
Cada método funciona mejor en ciertos tipos de sistemas. La siguiente tabla resume algunas pistas útiles:
| Método | Cuándo conviene usarlo | Ejemplo típico |
|---|---|---|
| Sustitución | Cuando una incógnita ya está despejada o cuando una incógnita tiene coeficiente \(1\) o \(-1\), por lo que es fácil despejarla. | \(y=3x-2\) \(5x+2y=7\) |
| Igualación | Cuando la misma incógnita está despejada en ambas ecuaciones o es fácil despejarla en las dos. | \(x=4y-1\) \(x=-2y+5\) |
| Reducción | Cuando los coeficientes de una incógnita son iguales, opuestos o múltiplos entre sí. | \(3x+2y=7\) \(5x-2y=1\) |
Ejercicios mixtos: elige, justifica y resuelve
Instrucción
Para cada sistema, primero identifica qué método parece más eficiente y justifica tu elección. Luego, resuelve el sistema.
Ejercicio 1
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} y=2x+5\\ 3x-2y=-8 \end{cases} \]
Método recomendado: sustitución.
Justificación: la incógnita \(y\) ya está despejada en la primera ecuación.
Sustituimos \(y=2x+5\) en la segunda ecuación:
\[ 3x-2(2x+5)=-8 \]
\[ 3x-4x-10=-8 \]
\[ -x-10=-8 \]
\[ -x=2 \]
\[ x=-2 \]
Ahora reemplazamos en \(y=2x+5\):
\[ y=2(-2)+5=1 \]
Solución: \((-2,1)\).
Ejercicio 2
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} 4x+5y=1\\ 3x-5y=13 \end{cases} \]
Método recomendado: reducción.
Justificación: los coeficientes de \(y\) son opuestos: \(+5y\) y \(-5y\).
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ (4x+5y)+(3x-5y)=1+13 \]
\[ 7x=14 \]
\[ x=2 \]
Reemplazamos en la primera ecuación:
\[ 4(2)+5y=1 \]
\[ 8+5y=1 \]
\[ 5y=-7 \]
\[ y=-\frac{7}{5} \]
Solución: \(\left(2,-\frac{7}{5}\right)\).
Ejercicio 3
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} x=3y-7\\ x=-2y+8 \end{cases} \]
Método recomendado: igualación.
Justificación: la incógnita \(x\) ya está despejada en ambas ecuaciones.
Igualamos las dos expresiones para \(x\):
\[ 3y-7=-2y+8 \]
\[ 5y=15 \]
\[ y=3 \]
Reemplazamos en \(x=3y-7\):
\[ x=3(3)-7=2 \]
Solución: \((2,3)\).
Ejercicio 4
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} 2x+y=9\\ 4x-3y=13 \end{cases} \]
Método recomendado: sustitución o reducción.
Justificación: en la primera ecuación es fácil despejar \(y\), pero también se puede multiplicar la primera ecuación por \(3\) para eliminar \(y\). Resolveremos por sustitución.
Despejamos \(y\) en la primera ecuación:
\[ y=9-2x \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 4x-3(9-2x)=13 \]
\[ 4x-27+6x=13 \]
\[ 10x=40 \]
\[ x=4 \]
Reemplazamos en \(y=9-2x\):
\[ y=9-2(4)=1 \]
Solución: \((4,1)\).
Ejercicio 5
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} x-6y=10\\ 3x+4y=1 \end{cases} \]
Método recomendado: sustitución.
Justificación: la incógnita \(x\) tiene coeficiente \(1\) en la primera ecuación, por lo que es fácil despejarla.
Despejamos \(x\):
\[ x=10+6y \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 3(10+6y)+4y=1 \]
\[ 30+18y+4y=1 \]
\[ 22y=-29 \]
\[ y=-\frac{29}{22} \]
Reemplazamos en \(x=10+6y\):
\[ x=10+6\left(-\frac{29}{22}\right) \]
\[ x=10-\frac{87}{11} \]
\[ x=\frac{110}{11}-\frac{87}{11}=\frac{23}{11} \]
Solución: \(\left(\frac{23}{11},-\frac{29}{22}\right)\).
Ejercicio 6
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} 3x+4y=15\\ 5x-3y=11 \end{cases} \]
Método recomendado: reducción.
Justificación: ninguna incógnita está despejada y no hay coeficientes \(1\) o \(-1\). Reducción permite trabajar de forma ordenada.
Eliminemos \(y\). Multiplicamos la primera ecuación por \(3\):
\[ 9x+12y=45 \]
Multiplicamos la segunda ecuación por \(4\):
\[ 20x-12y=44 \]
Sumamos:
\[ 29x=89 \]
\[ x=\frac{89}{29} \]
Reemplazamos en la primera ecuación:
\[ 3\left(\frac{89}{29}\right)+4y=15 \]
\[ \frac{267}{29}+4y=\frac{435}{29} \]
\[ 4y=\frac{168}{29} \]
\[ y=\frac{42}{29} \]
Solución: \(\left(\frac{89}{29},\frac{42}{29}\right)\).
Ejercicio 7
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} \frac{1}{2}x+y=4\\ x-y=2 \end{cases} \]
Método recomendado: reducción.
Justificación: los coeficientes de \(y\) ya son opuestos: \(+y\) y \(-y\).
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ \left(\frac{1}{2}x+y\right)+(x-y)=4+2 \]
\[ \frac{3}{2}x=6 \]
\[ x=6\cdot \frac{2}{3}=4 \]
Reemplazamos en \(x-y=2\):
\[ 4-y=2 \]
\[ y=2 \]
Solución: \((4,2)\).
Ejercicio 8
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} y=-4x+2\\ 3y=9-2x \end{cases} \]
Método recomendado: sustitución.
Justificación: \(y\) ya está despejada en la primera ecuación.
Sustituimos \(y=-4x+2\) en la segunda ecuación:
\[ 3(-4x+2)=9-2x \]
\[ -12x+6=9-2x \]
\[ -10x=3 \]
\[ x=-\frac{3}{10} \]
Reemplazamos en \(y=-4x+2\):
\[ y=-4\left(-\frac{3}{10}\right)+2 \]
\[ y=\frac{12}{10}+2=\frac{6}{5}+\frac{10}{5}=\frac{16}{5} \]
Solución: \(\left(-\frac{3}{10},\frac{16}{5}\right)\).
Ejercicio 9
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} 7x-2y=12\\ 5x+2y=12 \end{cases} \]
Método recomendado: reducción.
Justificación: los coeficientes de \(y\) son opuestos: \(-2y\) y \(+2y\).
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ (7x-2y)+(5x+2y)=12+12 \]
\[ 12x=24 \]
\[ x=2 \]
Reemplazamos en la primera ecuación:
\[ 7(2)-2y=12 \]
\[ 14-2y=12 \]
\[ -2y=-2 \]
\[ y=1 \]
Solución: \((2,1)\).
Ejercicio 10
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} y=\frac{x}{2}+1\\ y=\frac{x}{3}+2 \end{cases} \]
Método recomendado: igualación.
Justificación: \(y\) ya está despejada en ambas ecuaciones.
Igualamos las expresiones:
\[ \frac{x}{2}+1=\frac{x}{3}+2 \]
Multiplicamos por \(6\):
\[ 3x+6=2x+12 \]
\[ x=6 \]
Reemplazamos en la primera ecuación:
\[ y=\frac{6}{2}+1=4 \]
Solución: \((6,4)\).
Ejercicio 11
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} 6x+5y=2\\ 2x-y=10 \end{cases} \]
Método recomendado: sustitución.
Justificación: es fácil despejar \(y\) desde la segunda ecuación.
Despejamos \(y\):
\[ 2x-y=10 \]
\[ -y=10-2x \]
\[ y=2x-10 \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ 6x+5(2x-10)=2 \]
\[ 6x+10x-50=2 \]
\[ 16x=52 \]
\[ x=\frac{13}{4} \]
Reemplazamos en \(y=2x-10\):
\[ y=2\left(\frac{13}{4}\right)-10 \]
\[ y=\frac{13}{2}-\frac{20}{2}=-\frac{7}{2} \]
Solución: \(\left(\frac{13}{4},-\frac{7}{2}\right)\).
Ejercicio 12
Resuelve el sistema y justifica el método elegido:
\[ \begin{cases} 2x=5-3y\\ 4x=1-5y \end{cases} \]
Método recomendado: reducción.
Justificación: es fácil hacer que los coeficientes de \(x\) sean opuestos multiplicando la primera ecuación por \(-2\).
Primero escribimos el sistema en forma estándar:
\[ \begin{cases} 2x+3y=5\\ 4x+5y=1 \end{cases} \]
Multiplicamos la primera ecuación por \(-2\):
\[ -4x-6y=-10 \]
Sumamos con la segunda ecuación:
\[ (-4x-6y)+(4x+5y)=-10+1 \]
\[ -y=-9 \]
\[ y=9 \]
Reemplazamos en \(2x+3y=5\):
\[ 2x+3(9)=5 \]
\[ 2x+27=5 \]
\[ 2x=-22 \]
\[ x=-11 \]
Solución: \((-11,9)\).
Conclusión final
No hay un método único para resolver todos los sistemas de ecuaciones. Lo importante es observar la estructura del sistema y elegir el método que permita resolverlo con menos pasos y menor riesgo de error.