Capitulo 6 sistemas de ecuaciones
9. Sistemas de Ecuaciones: Profundización con la Regla de Cramer
Sistemas de Ecuaciones: Profundización con la Regla de Cramer
Un método poderoso y diferente: los determinantes
Hasta ahora hemos resuelto sistemas de ecuaciones paso a paso mediante métodos como sustitución, igualación y reducción. La Regla de Cramer es distinta, porque permite encontrar la solución usando una fórmula directa basada en determinantes.
Para usarla correctamente, primero debemos aprender a calcular el determinante de una matriz \(2\times 2\).
El corazón del método: calcular un determinante \(2\times 2\)
Cálculo del determinante \(2\times 2\)
Dado el arreglo:
\[ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \]
Su determinante se escribe con barras verticales y se calcula así:
\[ \Delta= \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} =a\cdot d-b\cdot c \]
Es decir, se multiplica la diagonal principal y se resta el producto de la otra diagonal.
Ejemplo: cálculo de un determinante
Calculemos el determinante de:
\[ \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 4 & 3 \end{pmatrix} \]
Aplicamos la fórmula:
\[ \Delta= \begin{vmatrix} 5 & 2\\ 4 & 3 \end{vmatrix} =(5)(3)-(2)(4) \]
\[ \Delta=15-8=7 \]
El determinante es \(7\).
La Regla de Cramer para sistemas \(2\times 2\)
Forma general
Para un sistema de la forma:
\[ \begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases} \]
se calculan tres determinantes:
Determinante del sistema:
\[ \Delta_S= \begin{vmatrix} a & b\\ d & e \end{vmatrix} \]
Determinante de \(x\): se reemplaza la columna de los coeficientes de \(x\) por la columna de resultados.
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} c & b\\ f & e \end{vmatrix} \]
Determinante de \(y\): se reemplaza la columna de los coeficientes de \(y\) por la columna de resultados.
\[ \Delta_y= \begin{vmatrix} a & c\\ d & f \end{vmatrix} \]
Finalmente:
\[ x=\frac{\Delta_x}{\Delta_S} \qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta_S} \]
Condición importante
La Regla de Cramer entrega una solución única solo cuando \(\Delta_S\neq 0\).
Si \(\Delta_S=0\), el sistema no tiene solución única. En ese caso, las rectas pueden ser paralelas o coincidentes, por lo que se debe analizar el sistema con otro método.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: aplicación de la Regla de Cramer
Resolvamos el sistema:
\[ \begin{cases} 2x+3y=8\\ 5x+4y=13 \end{cases} \]
1. Calculamos \(\Delta_S\):
\[ \Delta_S= \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 4 \end{vmatrix} =(2)(4)-(3)(5) \]
\[ \Delta_S=8-15=-7 \]
2. Calculamos \(\Delta_x\):
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} 8 & 3\\ 13 & 4 \end{vmatrix} =(8)(4)-(3)(13) \]
\[ \Delta_x=32-39=-7 \]
3. Calculamos \(\Delta_y\):
\[ \Delta_y= \begin{vmatrix} 2 & 8\\ 5 & 13 \end{vmatrix} =(2)(13)-(8)(5) \]
\[ \Delta_y=26-40=-14 \]
4. Calculamos \(x\) e \(y\):
\[ x=\frac{\Delta_x}{\Delta_S} = \frac{-7}{-7}=1 \]
\[ y=\frac{\Delta_y}{\Delta_S} = \frac{-14}{-7}=2 \]
Solución: \((1,2)\).
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1
Resuelve usando la Regla de Cramer:
\[ \begin{cases} 5x+2y=11\\ 3x-y=5 \end{cases} \]
1. Calculamos \(\Delta_S\):
\[ \Delta_S= \begin{vmatrix} 5 & 2\\ 3 & -1 \end{vmatrix} =(5)(-1)-(2)(3) \]
\[ \Delta_S=-5-6=-11 \]
2. Calculamos \(\Delta_x\):
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} 11 & 2\\ 5 & -1 \end{vmatrix} =(11)(-1)-(2)(5) \]
\[ \Delta_x=-11-10=-21 \]
3. Calculamos \(\Delta_y\):
\[ \Delta_y= \begin{vmatrix} 5 & 11\\ 3 & 5 \end{vmatrix} =(5)(5)-(11)(3) \]
\[ \Delta_y=25-33=-8 \]
4. Calculamos \(x\) e \(y\):
\[ x=\frac{\Delta_x}{\Delta_S} = \frac{-21}{-11} = \frac{21}{11} \]
\[ y=\frac{\Delta_y}{\Delta_S} = \frac{-8}{-11} = \frac{8}{11} \]
Solución: \(\left(\frac{21}{11},\frac{8}{11}\right)\).
Ejercicio 2
Resuelve usando la Regla de Cramer:
\[ \begin{cases} 4x-3y=10\\ 2x+5y=18 \end{cases} \]
1. Calculamos \(\Delta_S\):
\[ \Delta_S= \begin{vmatrix} 4 & -3\\ 2 & 5 \end{vmatrix} =(4)(5)-(-3)(2) \]
\[ \Delta_S=20+6=26 \]
2. Calculamos \(\Delta_x\):
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} 10 & -3\\ 18 & 5 \end{vmatrix} =(10)(5)-(-3)(18) \]
\[ \Delta_x=50+54=104 \]
3. Calculamos \(\Delta_y\):
\[ \Delta_y= \begin{vmatrix} 4 & 10\\ 2 & 18 \end{vmatrix} =(4)(18)-(10)(2) \]
\[ \Delta_y=72-20=52 \]
4. Calculamos \(x\) e \(y\):
\[ x=\frac{104}{26}=4 \]
\[ y=\frac{52}{26}=2 \]
Solución: \((4,2)\).
Ejercicio 3
Intenta resolver usando la Regla de Cramer:
\[ \begin{cases} 2x+6y=5\\ x+3y=1 \end{cases} \]
1. Calculamos \(\Delta_S\):
\[ \Delta_S= \begin{vmatrix} 2 & 6\\ 1 & 3 \end{vmatrix} =(2)(3)-(6)(1) \]
\[ \Delta_S=6-6=0 \]
Como \(\Delta_S=0\), la Regla de Cramer no entrega una solución única.
Analicemos las rectas:
\[ 2x+6y=5 \]
Dividimos por \(2\):
\[ x+3y=\frac{5}{2} \]
La segunda ecuación es:
\[ x+3y=1 \]
Ambas tienen el mismo lado izquierdo, pero resultados distintos. Por lo tanto, representan rectas paralelas.
Respuesta: el sistema no tiene solución.
¿De dónde viene esto?
La Regla de Cramer pertenece al álgebra lineal, una rama de la matemática que estudia matrices, vectores y sistemas de ecuaciones. En enseñanza media, la usamos como una forma ordenada de resolver sistemas \(2\times 2\), pero la idea puede extenderse a sistemas más grandes.