Repaso de Funciones y Conceptos Clave

1. Introducción a las Funciones

Introducción a las Funciones

💡 ¿Qué es una Función?

Una función es una relación especial entre dos conjuntos, llamados dominio y codominio. A cada elemento del dominio, la función le asigna uno y solo un elemento del codominio.

Podemos pensar en una función como una "máquina" ⚙️ que toma un valor de entrada (del dominio) y produce un valor de salida (del codominio).

Notación

Usamos letras como \(f\), \(g\) o \(h\) para representar funciones. Si \(f\) es una función, \(x\) es un valor de entrada y \(y\) es el valor de salida correspondiente, escribimos:

\( y = f(x) \)

Esto se lee "y es igual a f de x", y significa que \(y\) es el valor que la función \(f\) le asigna a \(x\).

Representaciones de Funciones

Las funciones se pueden representar de varias maneras:

Verbalmente: Con una descripción en palabras.
Algebraicamente: Con una fórmula (ej: \( f(x) = x^2 \)).
Numéricamente: Con una tabla de valores.
Gráficamente: Con un gráfico en un sistema de coordenadas.

🧪 Ejemplo de las 4 representaciones para "elevar al cuadrado":

• Verbal: "La función toma un número y lo eleva al cuadrado".

• Algebraica: \( f(x) = x^2 \)

• Tabla de valores (Numérica):

x	f(x)
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4

• Gráfica: La gráfica de esta función es una parábola con vértice en el origen.

🤓 Dominio, Codominio y Recorrido

Dominio: El conjunto de todos los valores de entrada permitidos para la función.
Codominio: El conjunto de todos los valores de salida posibles.
Recorrido (o Rango): El conjunto de los valores de salida que la función realmente produce. El recorrido es siempre un subconjunto del codominio.

Por ejemplo, para \( f(x) = \sqrt{x} \):
- El Dominio es \(x \ge 0\), ya que no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo en los reales.
- El Recorrido es \(f(x) \ge 0\), ya que el resultado de la raíz cuadrada principal nunca es negativo.

🌍 Modelo Matemático

Un modelo matemático es una representación simplificada de un fenómeno del mundo real usando lenguaje matemático. Las funciones son la herramienta fundamental para construir estos modelos.

Ejemplo: La distancia que recorre un auto a velocidad constante se puede modelar con una función lineal: \(d(t) = v \cdot t\), donde la distancia depende del tiempo.

Ejercicios

1. ¿Cuál de las siguientes relaciones no es una función? Explica por qué.

A cada persona se le asigna su número de RUT.
A cada número se le asigna su doble.
A cada número positivo se le asigna su raíz cuadrada.
A cada madre se le asigna su hijo/a.

2. Dada la función \( f(x) = 2x + 3 \), completa la siguiente tabla de valores:

x	f(x)
-2	?
-1	?
0	?
1	?
2	?

3. Para cada función, identifica su dominio y recorrido:

La función que asigna a cada persona su edad en años.
La función \( f(x) = \sqrt{x-1} \)

4. Determina si la siguiente tabla representa una función.

x	y
1	5
2	10
1	7
3	15