Raices
3. Raíces enésimas y la paridad del índice
Raíces enésimas y la paridad del índice
Comprender la raíz enésima como una generalización de la raíz cuadrada y la raíz cúbica, y analizar cómo la paridad del índice determina si una raíz existe o no en los números reales.
- Identifican los elementos de una raíz enésima: índice, radicando y valor.
- Calculan raíces exactas con índices mayores que dos.
- Determinan la existencia de una raíz en los números reales según la paridad del índice.
- Reconocen el comportamiento del signo en raíces de índice impar con radicandos negativos.
🤓 Idea central: la raíz enésima amplía la idea de raíz cuadrada y raíz cúbica. Sin embargo, no todas las raíces se comportan igual: el signo del radicando y que el índice sea par o impar cambia por completo lo que puede ocurrir.
💡 Pregunta guía: ¿por qué \( \sqrt[3]{-8} \) existe en los números reales, pero \( \sqrt[4]{-16} \) no existe en \( \mathbb{R} \)?
1. De casos conocidos a la raíz enésima
Observa estos ejemplos
\[ \sqrt{16}=4,\qquad \sqrt[3]{8}=2,\qquad \sqrt[3]{-8}=-2 \] \[ \sqrt[4]{16}=2,\qquad \sqrt[4]{-16} \text{ no existe en } \mathbb{R} \]
En todos estos casos aparece la misma idea: buscar un número que, al elevarlo a cierto exponente, produzca el radicando.
En todos estos casos aparece la misma idea: buscar un número que, al elevarlo a cierto exponente, produzca el radicando.
🤓 Observación: la raíz cuadrada tiene índice \(2\), la raíz cúbica tiene índice \(3\), la raíz cuarta tiene índice \(4\), y así sucesivamente. A este caso general lo llamamos raíz enésima.
2. ¿Qué significa una raíz enésima?
📐 Definición general: la expresión \( \sqrt[n]{a} \) representa la raíz enésima de \( a \).
Busca el número que, elevado a \( n \), produce \( a \).
Cuando la raíz existe en los números reales: \[ \sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a \]
Busca el número que, elevado a \( n \), produce \( a \).
Cuando la raíz existe en los números reales: \[ \sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a \]
Elementos de la expresión
En la expresión \( \sqrt[n]{a}=b \):
Si no aparece escrito el índice, se entiende que es \(2\). Por eso \( \sqrt{a} \) significa raíz cuadrada de \( a \).
- \( n \) es el índice.
- \( a \) es el radicando.
- \( b \) es el valor de la raíz.
Si no aparece escrito el índice, se entiende que es \(2\). Por eso \( \sqrt{a} \) significa raíz cuadrada de \( a \).
3. ¿Todo número tiene raíz?
💡 Pregunta clave: no basta con mirar el número que está dentro de la raíz. También hay que fijarse en el índice.
3.1. Caso: radicando positivo
🤓 Observación: si el radicando es positivo, la raíz enésima existe tanto para índices pares como para índices impares, y su valor es positivo.
Por ejemplo, si te piden \( \sqrt[4]{16} \), aunque se cumple que \[ 2^4=16 \qquad \text{y} \qquad (-2)^4=16, \] el símbolo radical representa un solo valor, y diremos que \[ \sqrt[4]{16}=2. \]
Por ejemplo, si te piden \( \sqrt[4]{16} \), aunque se cumple que \[ 2^4=16 \qquad \text{y} \qquad (-2)^4=16, \] el símbolo radical representa un solo valor, y diremos que \[ \sqrt[4]{16}=2. \]
Ejemplos con radicando positivo
\[ \sqrt[3]{8}=2 \quad \text{porque} \quad 2^3=8 \] \[ \sqrt[4]{16}=2 \quad \text{porque} \quad 2^4=16 \] \[ \sqrt[5]{32}=2 \quad \text{porque} \quad 2^5=32 \]
En estos casos, no aparece ningún problema en los números reales.
En estos casos, no aparece ningún problema en los números reales.
3.2. Caso: radicando negativo
🤓 Aquí el resultado depende de si el índice es par o impar:
Radicando negativo e índice impar
Una potencia de exponente impar conserva el signo. Por eso: \[ \sqrt[3]{-8}=-2 \quad \text{porque} \quad (-2)^3=-8 \] \[ \sqrt[5]{-32}=-2 \quad \text{porque} \quad (-2)^5=-32 \]
Entonces, si el índice es impar, la raíz de un número negativo sí existe en \( \mathbb{R} \) y su resultado es negativo.
Entonces, si el índice es impar, la raíz de un número negativo sí existe en \( \mathbb{R} \) y su resultado es negativo.
📐 Propiedad del signo: cuando el índice es impar, el signo negativo puede salir de la raíz: \[ \sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a} \qquad \text{si \( n \) es impar} \]
Radicando negativo e índice par
Observemos el número \( -64 \).
Su raíz cúbica sí existe: \[ \sqrt[3]{-64}=-4 \] porque \[ (-4)^3=-64. \]
En cambio, su raíz cuadrada no existe en los números reales: \[ \sqrt{-64}\notin \mathbb{R} \] porque no existe ningún número real cuyo cuadrado sea \( -64 \).
Su raíz cúbica sí existe: \[ \sqrt[3]{-64}=-4 \] porque \[ (-4)^3=-64. \]
En cambio, su raíz cuadrada no existe en los números reales: \[ \sqrt{-64}\notin \mathbb{R} \] porque no existe ningún número real cuyo cuadrado sea \( -64 \).
⚠️ Conclusión importante: si el radicando es negativo, la raíz solo existe en \( \mathbb{R} \) cuando el índice es impar, y en ese caso su resultado es negativo.
4. Resumen visual de la paridad del índice
💡 Regla visual rápida: para anticipar qué ocurrirá con una raíz enésima, basta mirar dos cosas: si el índice es par o impar, y si el radicando es positivo o negativo.
📐 Esquema resumen \[ \boxed{ \begin{array}{c@{\qquad\qquad}c} \sqrt[\text{par}]{+}=+ & \sqrt[\text{impar}]{+}=+ \\[1em] \sqrt[\text{par}]{-}\notin \mathbb{R} & \sqrt[\text{impar}]{-}=- \end{array} } \]
🤓 Nota: si el radicando es \( 0 \), la raíz enésima siempre existe y su valor es \( 0 \), sin importar si el índice es par o impar. \[ \sqrt[n]{0}=0 \]
5. Ejercicios guiados
Ejercicio 1
Calcula de forma exacta:
a) \( \sqrt[3]{27} \)
b) \( \sqrt[4]{81} \)
c) \( \sqrt[5]{32} \)
a) \( \sqrt[3]{27} \)
b) \( \sqrt[4]{81} \)
c) \( \sqrt[5]{32} \)
a) \[ \sqrt[3]{27}=3 \] porque \[ 3^3=27. \]
b) \[ \sqrt[4]{81}=3 \] porque \[ 3^4=81. \]
c) \[ \sqrt[5]{32}=2 \] porque \[ 2^5=32. \]
b) \[ \sqrt[4]{81}=3 \] porque \[ 3^4=81. \]
c) \[ \sqrt[5]{32}=2 \] porque \[ 2^5=32. \]
Ejercicio 2
Indica si la raíz existe en los números reales. Si existe, señala además el signo de su resultado.
a) \( \sqrt[4]{100} \)
b) \( \sqrt[6]{-64} \)
c) \( \sqrt[7]{-128} \)
d) \( \sqrt[5]{0} \)
a) \( \sqrt[4]{100} \)
b) \( \sqrt[6]{-64} \)
c) \( \sqrt[7]{-128} \)
d) \( \sqrt[5]{0} \)
a) Índice par y radicando positivo: sí existe y el resultado es no negativo.
b) Índice par y radicando negativo: no existe en \( \mathbb{R} \).
c) Índice impar y radicando negativo: sí existe y el resultado es negativo.
d) Índice impar y radicando \(0\): sí existe y el resultado es \[ 0. \]
b) Índice par y radicando negativo: no existe en \( \mathbb{R} \).
c) Índice impar y radicando negativo: sí existe y el resultado es negativo.
d) Índice impar y radicando \(0\): sí existe y el resultado es \[ 0. \]
Ejercicio 3
Usa la propiedad del signo para reescribir y calcular: \[ \sqrt[3]{-1000} \]
Como el índice es impar, el signo negativo puede salir de la raíz: \[ \sqrt[3]{-1000}=-\sqrt[3]{1000} \] y como \[ \sqrt[3]{1000}=10, \] entonces: \[ \sqrt[3]{-1000}=-10. \]
Ejercicio 4
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa:
a) \( \sqrt[4]{-81} \) existe en \( \mathbb{R} \).
b) \( \sqrt[3]{-27}=-3 \).
c) Si el índice es impar, la raíz puede existir aunque el radicando sea negativo.
d) \( \sqrt[6]{64} \) tiene resultado negativo.
a) \( \sqrt[4]{-81} \) existe en \( \mathbb{R} \).
b) \( \sqrt[3]{-27}=-3 \).
c) Si el índice es impar, la raíz puede existir aunque el radicando sea negativo.
d) \( \sqrt[6]{64} \) tiene resultado negativo.
a) Falsa. El índice es par y el radicando es negativo.
b) Verdadera, porque \[ (-3)^3=-27. \]
c) Verdadera.
d) Falsa. Si el índice es par y la raíz existe, el resultado es no negativo.
b) Verdadera, porque \[ (-3)^3=-27. \]
c) Verdadera.
d) Falsa. Si el índice es par y la raíz existe, el resultado es no negativo.
Ejercicio 5
Completa la tabla:
| Raíz | ¿Existe en \( \mathbb{R} \)? | Signo del resultado |
|---|---|---|
| \( \sqrt[8]{256} \) | ||
| \( \sqrt[5]{-243} \) | ||
| \( \sqrt[2]{-49} \) |
| Raíz | ¿Existe en \( \mathbb{R} \)? | Signo del resultado |
|---|---|---|
| \( \sqrt[8]{256} \) | Sí | No negativo |
| \( \sqrt[5]{-243} \) | Sí | Negativo |
| \( \sqrt[2]{-49} \) | No | No existe en \( \mathbb{R} \) |
6. Síntesis final
📐 Ideas que deben quedar claras:
La raíz enésima generaliza a la raíz cuadrada, cúbica, cuarta, quinta, etc.
Si el radicando es positivo, la raíz existe para índices pares e impares.
Si el radicando es negativo, la raíz solo existe en \( \mathbb{R} \) cuando el índice es impar.
Cuando el índice es par y la raíz existe, el símbolo radical representa el valor no negativo.
La raíz enésima generaliza a la raíz cuadrada, cúbica, cuarta, quinta, etc.
Si el radicando es positivo, la raíz existe para índices pares e impares.
Si el radicando es negativo, la raíz solo existe en \( \mathbb{R} \) cuando el índice es impar.
Cuando el índice es par y la raíz existe, el símbolo radical representa el valor no negativo.
7. Ticket de salida
Salida rápida
Responde en tu cuaderno:
- ¿Por qué \( \sqrt[3]{-125} \) existe, pero \( \sqrt[4]{-125} \) no existe en \( \mathbb{R} \)?
- ¿Qué debe ocurrir con el radicando para que una raíz de índice par exista en los números reales?
- Si una raíz tiene índice impar y el radicando es negativo, ¿qué signo tendrá el resultado?
1. Porque una potencia impar puede dar negativa, pero una potencia par no.
2. Debe ser positivo o cero.
3. El resultado será negativo.
2. Debe ser positivo o cero.
3. El resultado será negativo.