Raices
6. División de raíces de igual índice
División de Raíces de Igual Índice
En esta guía aprenderás a dividir y simplificar raíces de igual índice en expresiones numéricas y algebraicas, aplicando correctamente la cancelación estudiada anteriormente y revisando las restricciones de existencia en los números reales.
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la propiedad de división de radicales de igual índice para simplificar expresiones numéricas y algebraicas, reconociendo cuándo conviene simplificar, cuándo aparece valor absoluto, cuándo el denominador no puede ser cero y cuándo una expresión no existe en los números reales.
Recuerdo y activación previa
Repaso: cancelación ya estudiada
\[ \sqrt{6^2}=6 \qquad \sqrt[3]{(-2)^3}=-2 \]
\[ \sqrt{x^2}=|x| \qquad \sqrt[3]{x^3}=x \]
\[ \sqrt{4x^2}=2|x| \qquad \sqrt[3]{8x^3}=2x \]
Recuerda: en índice par aparece valor absoluto; en índice impar, el signo se conserva.
En algunos ejercicios, después de dividir los radicandos, puede aparecer una raíz que necesite simplificarse.
Cuando dos radicales tienen el mismo índice, se pueden reunir en una sola raíz dividiendo sus radicandos:
\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \qquad \text{con } b\neq 0 \]
Esta propiedad se usa para simplificar divisiones, siempre que las raíces involucradas existan en los números reales cuando el índice es par y que el denominador sea distinto de cero.
- Verifica que los radicales tengan el mismo índice.
- Comprueba que el denominador no sea cero.
- Divide los radicandos dentro de una sola raíz.
- Simplifica el radicando si aparece una potencia perfecta.
- Aplica la cancelación ya estudiada.
- Si el índice es par y aparece una letra elevada a ese mismo índice, recuerda usar valor absoluto.
- Comprueba que la expresión original exista en \(\mathbb{R}\).
¿Por qué funciona esta propiedad?
Supongamos que:
\[ p=\sqrt[n]{a} \qquad \text{y} \qquad q=\sqrt[n]{b} \]
Entonces, por definición de raíz:
\[ a=p^n \qquad \text{y} \qquad b=q^n \]
Dividiendo ambas expresiones:
\[ \frac{a}{b}=\frac{p^n}{q^n}=\left(\frac{p}{q}\right)^n \]
Ahora tomamos raíz enésima en ambos lados:
\[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{p}{q} \]
Y como \(p=\sqrt[n]{a}\) y \(q=\sqrt[n]{b}\), resulta:
\[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \]
Nota: Decimos justificación y no demostración porque no hemos incluido todas las condiciones necesarias para que sea una demostración formal. En el contexto escolar, ese nivel de detalle no es necesario.
La propiedad
\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \]
solo puede usarse directamente en \(\mathbb{R}\) si las raíces originales existen cuando el índice es par y, además, el denominador es distinto de cero.
Por ejemplo, \(\dfrac{\sqrt{-8}}{\sqrt{-2}}\) no existe en \(\mathbb{R}\), aunque al dividir los radicandos se obtenga \(\sqrt{4}\).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: división exacta
\[ \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{98}{2}} =\sqrt{49} =7 \]
Ejemplo 2: división que luego se simplifica
\[ \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{72}{2}} =\sqrt{36} =6 \]
Ejemplo 3: índice impar con signo negativo
\[ \frac{\sqrt[3]{-81}}{\sqrt[3]{3}} =\sqrt[3]{\frac{-81}{3}} =\sqrt[3]{-27} =-3 \]
Como el índice es impar, el signo se conserva.
Ejemplo 4: factores literales con índice impar
\[ \frac{\sqrt[3]{m^7n^5}}{\sqrt[3]{m^4n^2}} =\sqrt[3]{m^{7-4}n^{5-2}} =\sqrt[3]{m^3n^3} =mn \]
Se aplica la propiedad de división y luego la cancelación \(\sqrt[3]{x^3}=x\).
Ejemplo 5: factores literales con índice par
\[ \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^3}} =\sqrt{\frac{x^5}{x^3}} =\sqrt{x^2} =|x| \]
Como el índice es par, al cancelar aparece valor absoluto.
Ejemplo 6: cuando el valor absoluto se simplifica
\[ \frac{\sqrt[6]{m^9n^8}}{\sqrt[6]{m^3n^2}} =\sqrt[6]{m^6n^6} =|mn| \]
Si además sabemos que \(m\) y \(n\) son positivos, entonces el resultado puede escribirse como \(mn\).
En expresiones como \(\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^2}}\), además de revisar la existencia de las raíces, debe cumplirse que \(y\neq 0\).
Por eso:
\[ \frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^2}}=\frac{|x|}{|y|} \qquad \text{con } y\neq 0 \]
Guía de ejercicios
Ejercicios de aplicación
- \(\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{6}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt[3]{-81}}{\sqrt[3]{3}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt[5]{-16}}{\sqrt[5]{2}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt[5]{-96}}{\sqrt[5]{3}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^3}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{9x^4}}{\sqrt{x^2}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{20a^3b^4}}{\sqrt{5ab^2}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{18x^3}}{\sqrt{2x}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt[3]{m^7n^5}}{\sqrt[3]{m^4n^2}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt[3]{-16x^7}}{\sqrt[3]{2x^4}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt[3]{-m^4n^5}}{\sqrt[3]{mn^2}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt[5]{-96a^8b^6}}{\sqrt[5]{3a^3b}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{x^2y^2}}{\sqrt{y^2}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{49x^2}}{\sqrt{x^2}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt{9x^2y^4}}{\sqrt{y^2}}=\)
- \(\dfrac{\sqrt[6]{m^9n^8}}{\sqrt[6]{m^3n^2}}=\)
- ¿Existe \(\dfrac{\sqrt{-8}}{\sqrt{-2}}\) en \(\mathbb{R}\)? Justifica.
- \[ \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} =\sqrt{\frac{75}{3}} =\sqrt{25} =5 \]
- \[ \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{24}{2}} =\sqrt{12} =2\sqrt{3} \]
- \[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{50}{2}} =\sqrt{25} =5 \]
- \[ \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} =\sqrt{\frac{45}{5}} =\sqrt{9} =3 \]
- \[ \frac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}} =\sqrt{\frac{54}{6}} =\sqrt{9} =3 \]
- \[ \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}} =\sqrt{\frac{80}{5}} =\sqrt{16} =4 \]
- \[ \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} =\sqrt[3]{\frac{16}{2}} =\sqrt[3]{8} =2 \]
- \[ \frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} =\sqrt[3]{\frac{54}{2}} =\sqrt[3]{27} =3 \]
- \[ \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{6}} =\sqrt[3]{\frac{24}{6}} =\sqrt[3]{4} \]
- \[ \frac{\sqrt[3]{-81}}{\sqrt[3]{3}} =\sqrt[3]{\frac{-81}{3}} =\sqrt[3]{-27} =-3 \]
- \[ \frac{\sqrt[5]{-16}}{\sqrt[5]{2}} =\sqrt[5]{\frac{-16}{2}} =\sqrt[5]{-8} \]
- \[ \frac{\sqrt[5]{-96}}{\sqrt[5]{3}} =\sqrt[5]{\frac{-96}{3}} =\sqrt[5]{-32} =-2 \]
- \[ \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^3}} =\sqrt{\frac{x^5}{x^3}} =\sqrt{x^2} =|x| \]
- \[ \frac{\sqrt{9x^4}}{\sqrt{x^2}} =\sqrt{\frac{9x^4}{x^2}} =\sqrt{9x^2} =3|x| \]
- \[ \frac{\sqrt{20a^3b^4}}{\sqrt{5ab^2}} =\sqrt{\frac{20a^3b^4}{5ab^2}} =\sqrt{4a^2b^2} =2|ab| \]
- \[ \frac{\sqrt{18x^3}}{\sqrt{2x}} =\sqrt{\frac{18x^3}{2x}} =\sqrt{9x^2} =3|x| \]
- \[ \frac{\sqrt[3]{m^7n^5}}{\sqrt[3]{m^4n^2}} =\sqrt[3]{m^{7-4}n^{5-2}} =\sqrt[3]{m^3n^3} =mn \]
- \[ \frac{\sqrt[3]{-16x^7}}{\sqrt[3]{2x^4}} =\sqrt[3]{\frac{-16x^7}{2x^4}} =\sqrt[3]{-8x^3} =-2x \]
- \[ \frac{\sqrt[3]{-m^4n^5}}{\sqrt[3]{mn^2}} =\sqrt[3]{\frac{-m^4n^5}{mn^2}} =\sqrt[3]{-m^3n^3} =-mn \]
- \[ \frac{\sqrt[5]{-96a^8b^6}}{\sqrt[5]{3a^3b}} =\sqrt[5]{\frac{-96a^8b^6}{3a^3b}} =\sqrt[5]{-32a^5b^5} =-2ab \]
- \[ \frac{\sqrt{x^2y^2}}{\sqrt{y^2}} =\sqrt{x^2} =|x| \qquad \text{con } y\neq 0 \]
- \[ \frac{\sqrt{49x^2}}{\sqrt{x^2}} =\sqrt{49} =7 \qquad \text{si } x\neq 0 \]
- \[ \frac{\sqrt{9x^2y^4}}{\sqrt{y^2}} =\sqrt{9x^2y^2} =3|xy| \qquad \text{con } y\neq 0 \]
- \[ \frac{\sqrt[6]{m^9n^8}}{\sqrt[6]{m^3n^2}} =\sqrt[6]{m^6n^6} =|mn| \]
-
No existe en \(\mathbb{R}\).
\(\sqrt{-8}\) y \(\sqrt{-2}\) no existen en los números reales porque son raíces de índice par con radicando negativo.
Por eso no se puede aplicar la propiedad en este caso.
Ejercicios guiados
Completa el radicando que falta para que se cumpla la igualdad:
- \(\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{\square}}=\sqrt{2}\)
- \(\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{\square}}=\sqrt{5}\)
- \(\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{\square}}=\sqrt[3]{2}\)
- \(\dfrac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{\square}}=\sqrt[4]{3}\)
- \[ \dfrac{72}{\square}=2 \Rightarrow \square =36 \]
- \[ \dfrac{45}{\square}=5 \Rightarrow \square =9 \]
- \[ \dfrac{54}{\square}=2 \Rightarrow \square =27 \]
- \[ \dfrac{48}{\square}=3 \Rightarrow \square =16 \]
Ejercicio de atención
Analiza la siguiente expresión:
\[ \frac{\sqrt{x^7}}{\sqrt{x^5}}=x \]
¿Es correcta? Justifica.
No siempre es correcta.
Lo correcto es:
\[ \frac{\sqrt{x^7}}{\sqrt{x^5}}=\sqrt{x^2}=|x| \]
porque en una raíz de índice par se cumple \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Resumen final
- La propiedad de división de radicales exige que ambos radicales tengan el mismo índice.
- En una división de radicales, el denominador debe ser distinto de cero.
- Si el índice es impar, entonces \(\sqrt[n]{x^n}=x\).
- Si el índice es par, entonces \(\sqrt[n]{x^n}=|x|\).
- Después de dividir, puede ser necesario simplificar la raíz resultante.
- Antes de aplicar la propiedad, revisa si la expresión original existe en \(\mathbb{R}\).
Ticket de salida
- ¿Qué condición deben cumplir dos radicales para poder dividirse dentro de una sola raíz?
- ¿Qué otra condición importante debe cumplir el denominador?
- Calcula mentalmente: \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\).
- Deben tener el mismo índice.
- El denominador debe ser distinto de cero.
- \[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5 \]