Potencias y Exponentes: Propiedades y Operaciones

¿Qué son las Potencias?

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida de un mismo número (la *base*) por sí mismo. El número de veces que se multiplica la base se llama *exponente*.

Notación: \( b^n \)

• \( b \): base (el número que se multiplica).
• \( n \): exponente (cuántas veces se multiplica la base).

Ejemplo: \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) (2 es la base, 3 es el exponente, 8 es el resultado)

Propiedades de las Potencias

Estas propiedades son *fundamentales* para trabajar con funciones exponenciales y logarítmicas. Es *esencial* que las comprendas y sepas aplicarlas.

1. Producto de potencias de igual base: \[ b^m \cdot b^n = b^{m+n} \]

   Cuando multiplicas potencias con la *misma base*, se *suman* los exponentes.

   Ejemplo: \( 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 \)

2. Cociente de potencias de igual base: \[ \frac{b^m}{b^n} = b^{m-n} \]

   Cuando divides potencias con la *misma base*, se *restan* los exponentes.

   Ejemplo: \( 5^4 / 5^2 = 5^{4-2} = 5^2 = 25 \)

3. Potencia de una potencia: \[ (b^m)^n = b^{m \cdot n} \]

   Cuando elevas una potencia a otra potencia, se *multiplican* los exponentes.

   Ejemplo: \( (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729 \)

4. Exponente cero: \[ b^0 = 1 \quad (\text{siempre que } b \neq 0) \]

   Cualquier número (distinto de cero) elevado a la potencia cero es igual a 1.

   Ejemplo: \( 7^0 = 1 \), \( (-4)^0 = 1 \), \( (1/2)^0 = 1 \)

5. Exponentes negativos: \[ b^{-n} = \frac{1}{b^n} \quad (\text{siempre que } b \neq 0) \]

   Un exponente negativo indica el *recíproco* de la base elevada al exponente positivo.

   Ejemplo: \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \), \( 5^{-1} = \frac{1}{5} \)

6. Exponentes fraccionarios (raíces): \[ b^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{b^m} = (\sqrt[n]{b})^m \]

   Un exponente fraccionario representa una raíz. El denominador del exponente es el *índice* de la raíz, y el numerador es el exponente al que se eleva la base (o el resultado de la raíz).

   Ejemplo: \( 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 \), \( 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)

7. Potencia de un producto: \[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

   Cuando un *producto* se eleva a una potencia, se eleva *cada factor* a esa potencia.

   Ejemplo: \( (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3= 8*125= 1000 \)

8. Potencia de un cociente: \[ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \]

   Cuando un *cociente* se eleva a una potencia, se eleva *cada factor* a esa potencia.

   Ejemplo: \( (\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \)

Ejercicios (Graduados por Dificultad)

Ejercicio 1: \( 5^2 \cdot 5^3 \)

© 2024 - Material de Apoyo