Raices
7. Raíz de una raíz y extracción de factores
Raíz de una Raíz
En esta guía aprenderás a simplificar expresiones donde una raíz aparece dentro de otra, reuniéndolas en una sola raíz y aplicando correctamente la multiplicación de índices.
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la propiedad de raíz de una raíz para transformar expresiones numéricas y algebraicas en una sola raíz, simplificando resultados y revisando sus condiciones de existencia en los números reales.
Recuerdo y activación previa
Repaso: raíces ya estudiadas
\[ \sqrt{16}=4 \qquad \sqrt[3]{27}=3 \]
\[ \sqrt{x^2}=|x| \qquad \sqrt[3]{x^3}=x \]
\[ \sqrt[4]{16}=2 \qquad \sqrt[6]{64}=2 \]
Recuerda: si una raíz aparece dentro de otra, el objetivo será reunirlas en una sola.
Cuando una raíz está dentro de otra, se pueden reunir en una sola raíz multiplicando sus índices:
\[ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a} \]
Es decir, raíz de una raíz = una sola raíz cuyo índice es el producto de los índices.
- Observa el índice de cada raíz.
- Multiplica los índices.
- Escribe una sola raíz con ese nuevo índice.
- Simplifica si el radicando contiene una potencia perfecta.
- Si el índice final es par y aparece una letra elevada a ese mismo índice, recuerda usar valor absoluto.
- Comprueba que la expresión original exista en \(\mathbb{R}\).
¿Por qué funciona esta propiedad?
Sabemos que una raíz puede escribirse como potencia fraccionaria:
\[ \sqrt[m]{a}=a^{\frac{1}{m}} \]
Entonces:
\[ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} =\left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}} \]
Ahora multiplicamos exponentes:
\[ \left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}} =a^{\frac{1}{m}\cdot\frac{1}{n}} =a^{\frac{1}{mn}} \]
Y eso equivale a:
\[ a^{\frac{1}{mn}}=\sqrt[mn]{a} \]
Por tanto:
\[ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a} \]
Nota: Decimos justificación y no demostración porque no hemos incluido todas las condiciones necesarias para que sea una demostración formal. En el contexto escolar, ese nivel de detalle no es necesario.
Antes de reunir una raíz de otra raíz en una sola, debes revisar que la expresión original exista en \(\mathbb{R}\).
Por ejemplo, \(\sqrt[3]{\sqrt{-8}}\) no existe en \(\mathbb{R}\), porque la raíz interior \(\sqrt{-8}\) ya no existe en los números reales.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: raíces cuadradas sucesivas
\[ \sqrt{\sqrt{81}} =\sqrt[4]{81} =3 \]
Se multiplican los índices: \(2\cdot 2=4\).
Ejemplo 2: distintos índices
\[ \sqrt[3]{\sqrt{64}} =\sqrt[6]{64} =2 \]
Se multiplican los índices: \(3\cdot 2=6\).
Ejemplo 3: índice impar
\[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{-512}} =\sqrt[9]{-512} =-2 \]
Como el índice final es impar, la raíz de un número negativo existe y conserva el signo.
Ejemplo 4: índice par
\[ \sqrt{\sqrt[3]{x^6}} =\sqrt[6]{x^6} =|x| \]
Como el índice final es par, aparece valor absoluto.
Ejemplo 5: cuando el valor absoluto se simplifica
\[ \sqrt{\sqrt{x^8}} =\sqrt[4]{x^8} =|x^2| \]
Pero \(x^2\ge 0\), por lo tanto:
\[ |x^2|=x^2 \]
Así, el resultado final es:
\[ x^2 \]
Ejemplo 6: con coeficiente numérico
\[ \sqrt[3]{\sqrt{729x^6}} =\sqrt[6]{729x^6} \]
Como \(729=3^6\), entonces:
\[ \sqrt[6]{729x^6} =3|x| \]
La expresión original debe existir paso a paso.
Por ejemplo, en \(\sqrt{\sqrt{x}}\), primero debe existir \(\sqrt{x}\), así que se requiere \(x\ge 0\).
Guía de ejercicios
Ejercicios de aplicación
- \(\sqrt{\sqrt{16}}=\)
- \(\sqrt{\sqrt{81}}=\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\)
- \(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\)
- \(\sqrt[5]{\sqrt{32}}=\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{-512}}=\)
- \(\sqrt{\sqrt[3]{x^6}}=\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt{x^6}}=\)
- \(\sqrt{\sqrt{x^8}}=\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt[5]{x^{15}}}=\)
- \(\sqrt{\sqrt[4]{x^8}}=\)
- \(\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}=\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt{729x^6}}=\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt[4]{x^{12}}}=\)
- \(\sqrt[5]{\sqrt{x^{10}}}=\)
- \(\sqrt{\sqrt[5]{x^{10}}}=\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^6}}=\)
- \(\sqrt{\sqrt{x^4y^4}}=\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{-64}}=\)
- \(\sqrt{\sqrt[3]{64x^6}}=\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt{64x^6}}=\)
- \(\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}=\)
- \(\sqrt{\sqrt[5]{10}}=\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt[2]{x^6y^3}}=\)
- ¿Existe \(\sqrt{\sqrt{-4x^2}}\) en \(\mathbb{R}\)? Justifica.
- \[ \sqrt{\sqrt{16}}=\sqrt[4]{16}=2 \]
- \[ \sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt[4]{81}=3 \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[6]{64}=2 \]
- \[ \sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2 \]
- \[ \sqrt[5]{\sqrt{32}}=\sqrt[10]{32} \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{-512}}=\sqrt[9]{-512}=-2 \]
- \[ \sqrt{\sqrt[3]{x^6}}=\sqrt[6]{x^6}=|x| \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt{x^6}}=\sqrt[6]{x^6}=|x| \]
- \[ \sqrt{\sqrt{x^8}}=\sqrt[4]{x^8}=x^2 \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt[5]{x^{15}}}=\sqrt[15]{x^{15}}=x \]
- \[ \sqrt{\sqrt[4]{x^8}}=\sqrt[8]{x^8}=|x| \]
- \[ \sqrt[4]{\sqrt{x^8}}=\sqrt[8]{x^8}=|x| \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt{729x^6}}=\sqrt[6]{729x^6}=3|x| \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt[4]{x^{12}}}=\sqrt[12]{x^{12}}=|x| \]
- \[ \sqrt[5]{\sqrt{x^{10}}}=\sqrt[10]{x^{10}}=|x| \]
- \[ \sqrt{\sqrt[5]{x^{10}}}=\sqrt[10]{x^{10}}=|x| \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt{x^6y^6}}=\sqrt[6]{x^6y^6}=|xy| \]
- \[ \sqrt{\sqrt{x^4y^4}}=\sqrt[4]{x^4y^4}=|xy| \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{-64}}=\sqrt[9]{-64} \]
- \[ \sqrt{\sqrt[3]{64x^6}}=\sqrt[6]{64x^6}=2|x| \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt{64x^6}}=\sqrt[6]{64x^6}=2|x| \]
- \[ \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[12]{x} \]
- \[ \sqrt{\sqrt[5]{10}}=\sqrt[10]{10} \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt{x^6y^3}}=\sqrt[6]{x^6y^3} \]
-
En \(\mathbb{R}\), la raíz interior \(\sqrt{-4x^2}\) debe existir primero.
Como \(-4x^2\le 0\), esa raíz solo existe cuando \(-4x^2=0\), es decir, cuando \(x=0\).
Por tanto, \(\sqrt{\sqrt{-4x^2}}\) solo existe en \(\mathbb{R}\) cuando \(x=0\).
Ejercicios guiados
Completa el índice que falta para que las expresiones sean equivalentes:
- \(\sqrt{\sqrt{x}}=\sqrt[\square]{x}\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt{x}}=\sqrt[\square]{x}\)
- \(\sqrt{\sqrt[5]{x}}=\sqrt[\square]{x}\)
- \(\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[\square]{x}\)
- \[ \sqrt{\sqrt{x}}=\sqrt[4]{x} \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt{x}}=\sqrt[6]{x} \]
- \[ \sqrt{\sqrt[5]{x}}=\sqrt[10]{x} \]
- \[ \sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[12]{x} \]
Ejercicio de atención
Analiza la siguiente expresión:
\[ \sqrt{\sqrt{x^2}}=x \]
¿Es correcta? Justifica.
No siempre es correcta.
Lo correcto es:
\[ \sqrt{\sqrt{x^2}}=\sqrt[4]{x^2} \]
No se puede simplificar directamente a \(x\), porque el exponente 2 no coincide con el índice final 4.
Resumen final
- Una raíz de otra raíz se puede escribir como una sola raíz.
- El nuevo índice se obtiene multiplicando los índices.
- Después de reunir las raíces, puede ser posible simplificar usando cancelación.
- Si el índice final es par, puede aparecer valor absoluto.
- Antes de simplificar, revisa si la expresión original existe en \(\mathbb{R}\).
Ticket de salida
- ¿Qué ocurre con los índices en una raíz de otra raíz?
- ¿Por qué \(\sqrt{\sqrt[3]{x^6}}=|x|\)?
- Calcula mentalmente: \(\sqrt{\sqrt{81}}\).
- Se multiplican.
- Porque \(\sqrt{\sqrt[3]{x^6}}=\sqrt[6]{x^6}=|x|\).
- \[ \sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt[4]{81}=3 \]