Raices
4. Cancelacion de raices y potencias
Cancelación en Raíces y Factores Literales
En esta guía aprenderás a simplificar raíces cuando el índice y el exponente se relacionan directamente, distinguiendo correctamente entre índices pares e impares, el uso del valor absoluto y las restricciones de existencia en los números reales.
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la cancelación entre raíces y potencias para simplificar expresiones numéricas y algebraicas, reconociendo cuándo aparece valor absoluto y cuándo una expresión no existe en los números reales.
Cuando una raíz contiene una potencia del mismo índice, se produce una cancelación:
\[ \sqrt[n]{x^n} \]
Pero el resultado no siempre es el mismo. Depende de si el índice es par o impar.
- Observa el índice de la raíz.
- Compara ese índice con el exponente de la potencia.
- Si coinciden, aplica la cancelación.
- Si el índice es impar, el signo se conserva.
- Si el índice es par, recuerda usar valor absoluto.
- Comprueba si la expresión existe en \(\mathbb{R}\).
Recuerdo y activación previa
Repaso 1: potencias y raíces exactas
\[ \sqrt{4}=2 \qquad \sqrt{9}=3 \qquad \sqrt{25}=5 \]
\[ \sqrt[3]{8}=2 \qquad \sqrt[3]{27}=3 \qquad \sqrt[3]{125}=5 \]
Repaso 2: elevar antes de sacar raíz
\[ 2^2=4 \qquad (-2)^2=4 \]
\[ 2^3=8 \qquad (-2)^3=-8 \]
Este contraste será clave para entender por qué en índice par aparece valor absoluto y en índice impar no.
¿Qué significa cancelar?
Cuando una raíz y una potencia tienen el mismo índice y el mismo exponente, se “deshacen” entre sí.
Por ejemplo:
\[ \sqrt[3]{x^3}=x \]
porque la raíz cúbica y el cubo son operaciones inversas.
Sin embargo, en índice par hay que tener cuidado, porque al elevar al cuadrado o a otra potencia par se pierde información sobre el signo.
Nota: En esta guía trabajaremos esta idea en su forma escolar. Más adelante puede estudiarse con mayor formalidad.
Teoría sobre factores literales
Si el índice es impar, se cumple:
\[ \sqrt[n]{x^n}=x \qquad \text{(si \(n\) es impar)} \]
Conviene observar qué ocurre con el signo, dependiendo si entra 2 o -2:
- \(\sqrt[3]{{2}^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
- \(\sqrt[3]{{(-2)}^3}=\sqrt[3]{-8}=-2\)
En una raíz de índice impar, el signo del radicando se conserva.
Idea visual: si entra \(x\), sale \(x\).
Ejemplos con índice impar
- \(\sqrt[3]{x^3}=x\)
- \(\sqrt[5]{x^5}=x\)
- \(\sqrt[3]{(-5)^3}=\sqrt[3]{-125}=-5\)
- \(\sqrt[3]{8x^3}=2x\)
- \(\sqrt[3]{8x^3y^3}=2xy\)
Si el índice es par, se cumple:
\[ \sqrt[n]{x^n}=|x| \qquad \text{(si \(n\) es par)} \]
Conviene observar qué ocurre con el signo ahora:
- \(\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2\)
- \(\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2\)
En una raíz de índice par, el resultado siempre es positivo o cero.
Idea visual: si entra \(x\), sale su valor absoluto.
Ejemplos con índice par
- \(\sqrt{x^2}=|x|\)
- \(\sqrt[4]{x^4}=|x|\)
- \(\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5\)
- \(\sqrt{4x^2}=2|x|\)
- \(\sqrt{4x^2y^2}=2|x||y|\)
Porque la raíz de índice par, cuando existe en los números reales, siempre es positiva o cero.
Por eso:
\[ \sqrt{x^2}=|x| \]
y no simplemente \(x\), ya que aunque \(x\) fuera negativo, la raíz nunca saldría negativa.
\[ |x|= \begin{cases} x & \text{si } x\ge 0\\ -x & \text{si } x<0 \end{cases} \]
En palabras simples: si el número es positivo, queda igual; si es negativo, se escribe positivo.
No olvides que:
\[ \sqrt{x^2}\neq x \quad \text{en general} \]
Lo correcto es:
\[ \sqrt{x^2}=|x| \]
En los números reales, una raíz de índice par solo existe si el radicando es mayor o igual que cero.
Por ejemplo, \(\sqrt{-4x^2}\) no existe en \(\mathbb{R}\) para \(x\neq 0\), porque \(-4x^2\) será negativo.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: índice impar
\[ \sqrt[3]{27x^3} =\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{x^3} =3x \]
Como el índice es impar, \(\sqrt[3]{x^3}=x\).
Ejemplo 2: índice par
\[ \sqrt{64x^2} =\sqrt{64}\cdot\sqrt{x^2} =8|x| \]
Como el índice es par, \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Ejemplo 3: cuando el valor absoluto se simplifica
\[ \sqrt[4]{x^8} =|x^2| \]
Pero \(x^2\ge 0\) para todo número real, por lo tanto:
\[ |x^2|=x^2 \]
Así, el resultado final es:
\[ x^2 \]
En expresiones como \(\sqrt{x^2}\), \(\sqrt{4x^2}\) o \(\sqrt{9x^2y^2}\), el radicando siempre es mayor o igual que cero.
Pero en expresiones como \(\sqrt{-4x^2}\), la raíz solo existe en \(\mathbb{R}\) cuando el radicando vale 0.
Guía de ejercicios
Ejercicios de aplicación
- \(\sqrt{x^2}=\)
- \(\sqrt{9x^2}=\)
- \(\sqrt[3]{x^3}=\)
- \(\sqrt[3]{8x^3}=\)
- \(\sqrt[3]{27x^3}=\)
- \(\sqrt[5]{x^5}=\)
- \(\sqrt{4x^2}=\)
- \(\sqrt{16x^2}=\)
- \(\sqrt{25x^2}=\)
- \(\sqrt[3]{64x^3}=\)
- \(\sqrt[3]{-8x^3}=\)
- \(\sqrt[3]{-27x^3}=\)
- \(\sqrt{x^2y^2}=\)
- \(\sqrt{4x^2y^2}=\)
- \(\sqrt{9x^2y^2}=\)
- \(\sqrt[3]{x^3y^3}=\)
- \(\sqrt[3]{8x^3y^3}=\)
- \(\sqrt[3]{-8x^3y^3}=\)
- \(\sqrt[4]{x^4}=\)
- \(\sqrt[4]{16x^4}=\)
- \(\sqrt[4]{x^8}=\)
- \(\sqrt[6]{x^6}=\)
- \(\sqrt{(-3)^2}=\)
- \(\sqrt[3]{(-2)^3}=\)
- ¿Existe \(\sqrt{-4x^2}\)? Justifica.
- \[ \sqrt{x^2}=|x| \]
- \[ \sqrt{9x^2}=3|x| \]
- \[ \sqrt[3]{x^3}=x \]
- \[ \sqrt[3]{8x^3}=2x \]
- \[ \sqrt[3]{27x^3}=3x \]
- \[ \sqrt[5]{x^5}=x \]
- \[ \sqrt{4x^2}=2|x| \]
- \[ \sqrt{16x^2}=4|x| \]
- \[ \sqrt{25x^2}=5|x| \]
- \[ \sqrt[3]{64x^3}=4x \]
- \[ \sqrt[3]{-8x^3}=-2x \]
- \[ \sqrt[3]{-27x^3}=-3x \]
- \[ \sqrt{x^2y^2}=|xy| \]
- \[ \sqrt{4x^2y^2}=2|x||y| \]
- \[ \sqrt{9x^2y^2}=3|x||y| \]
- \[ \sqrt[3]{x^3y^3}=xy \]
- \[ \sqrt[3]{8x^3y^3}=2xy \]
- \[ \sqrt[3]{-8x^3y^3}=-2xy \]
- \[ \sqrt[4]{x^4}=|x| \]
- \[ \sqrt[4]{16x^4}=2|x| \]
- \[ \sqrt[4]{x^8}=x^2 \]
- \[ \sqrt[6]{x^6}=|x| \]
- \[ \sqrt{(-3)^2}=3 \]
- \[ \sqrt[3]{(-2)^3}=-2 \]
-
En \(\mathbb{R}\), una raíz cuadrada solo existe si el radicando es mayor o igual que 0.
\[ -4x^2\le 0 \]
Como \(x^2\ge 0\), entonces \(-4x^2\) es negativo para todo \(x\neq 0\), y vale \(0\) solo cuando \(x=0\).
Por tanto, \(\sqrt{-4x^2}\) no existe en \(\mathbb{R}\) para \(x\neq 0\), y solo existe cuando \(x=0\).
Ejercicios guiados
Completa el espacio en blanco para que la cancelación sea correcta:
- \(\sqrt{\square^2}=|\square|\)
- \(\sqrt[3]{\square^3}=\square\)
- \(\sqrt{9x^2}=3\cdot \square\)
- \(\sqrt[3]{8x^3}=2\cdot \square\)
- \[ \sqrt{x^2}=|x| \]
- \[ \sqrt[3]{x^3}=x \]
- \[ \sqrt{9x^2}=3|x| \]
- \[ \sqrt[3]{8x^3}=2x \]
Ejercicio de atención
Analiza la siguiente expresión:
\[ \sqrt{x^2}=x \]
¿Es correcta? Justifica.
No siempre es correcta.
Lo correcto es:
\[ \sqrt{x^2}=|x| \]
porque en una raíz de índice par la salida siempre es positiva o cero.
Resumen final
- Si el índice es impar, entonces \(\sqrt[n]{x^n}=x\).
- Si el índice es par, entonces \(\sqrt[n]{x^n}=|x|\).
- En índice par, la raíz nunca sale negativa.
- Antes de simplificar una raíz par, revisa si la expresión existe en \(\mathbb{R}\).
Ticket de salida
- ¿Qué diferencia principal hay entre \(\sqrt{x^2}\) y \(\sqrt[3]{x^3}\)?
- ¿Por qué en \(\sqrt{x^2}\) aparece valor absoluto?
- Calcula mentalmente: \(\sqrt[3]{-27}\).
- \(\sqrt{x^2}=|x|\), mientras que \(\sqrt[3]{x^3}=x\).
- Porque la raíz de índice par, cuando existe en los números reales, siempre es positiva o cero.
- \[ \sqrt[3]{-27}=-3 \]