Raices
8. Introducir y Extraer Factores en una Raíz
Introducir y Extraer Factores en una Raíz
En esta guía aprenderás a introducir factores dentro de una raíz y a extraerlos cuando el radicando contiene potencias convenientes, simplificando expresiones numéricas y algebraicas.
Objetivo de aprendizaje
Aplicar las propiedades de introducción y extracción de factores en radicales para transformar y simplificar expresiones numéricas y algebraicas, reconociendo cuándo aparece valor absoluto y cuándo una expresión no existe en los números reales.
Recuerdo y activación previa
Repaso: cancelación ya estudiada
\[ \sqrt{x^2}=|x| \qquad \sqrt[3]{x^3}=x \]
\[ \sqrt{4x^2}=2|x| \qquad \sqrt[3]{8x^3}=2x \]
\[ \sqrt[4]{x^8}=x^2 \qquad \sqrt[6]{x^6}=|x| \]
Recuerda: extraer un factor consiste en usar esta cancelación de manera organizada.
Un factor puede entrar a una raíz si se eleva al índice de esa raíz, y puede salir de una raíz si dentro aparece elevado a una potencia igual al índice.
Introducir un factor:
\[ a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n\cdot b} \]
Extraer un factor:
\[ \sqrt[n]{a^n\cdot b}=a\sqrt[n]{b} \]
Si el índice es par y el factor extraído es literal, se debe considerar valor absoluto.
- Observa el índice de la raíz.
- Si un factor va a entrar, elévalo a ese índice.
- Si un factor va a salir, verifica que dentro esté elevado a ese índice.
- Si el índice es par y sale una letra, recuerda usar valor absoluto.
- Comprueba que la expresión exista en \(\mathbb{R}\).
¿Por qué funciona esta propiedad?
Sabemos que:
\[ \sqrt[n]{a^n}=a \]
si el índice es impar, y
\[ \sqrt[n]{a^n}=|a| \]
si el índice es par.
Entonces, si un número está fuera de la raíz, puede entrar como una potencia del mismo índice:
\[ a=\sqrt[n]{a^n} \]
y por eso:
\[ a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b} \]
De forma inversa, si dentro de la raíz aparece una potencia del mismo índice, puede extraerse.
Nota: En esta guía trabajaremos estas propiedades en su forma escolar. Más adelante pueden estudiarse con mayor formalidad.
Cuando el índice es par, la raíz solo existe en \(\mathbb{R}\) si el radicando es mayor o igual que cero.
Además, al extraer letras desde una raíz de índice par, puede aparecer valor absoluto.
Introducir factores
Ejemplo 1: introducir un número en una raíz cuadrada
\[ 5\sqrt{2} \]
Como el índice es 2, el 5 entra elevado al cuadrado:
\[ 5\sqrt{2}=\sqrt{5^2\cdot 2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50} \]
Ejemplo 2: introducir un número en una raíz cúbica
\[ 2\sqrt[3]{4} \]
Como el índice es 3, el 2 entra elevado al cubo:
\[ 2\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^3\cdot 4}=\sqrt[3]{8\cdot 4}=\sqrt[3]{32} \]
Ejemplo 3: introducir un factor literal
\[ a\sqrt{b} \]
El factor \(a\) entra elevado al índice 2:
\[ a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b} \]
Extraer factores
Ejemplo 4: extracción numérica en raíz cuadrada
\[ \sqrt{50} \]
Buscamos un cuadrado perfecto:
\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{5^2\cdot 2}=5\sqrt{2} \]
Ejemplo 5: extracción numérica en raíz cúbica
\[ \sqrt[3]{24} \]
Buscamos un cubo perfecto:
\[ \sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=\sqrt[3]{2^3\cdot 3}=2\sqrt[3]{3} \]
Ejemplo 6: extracción con letras e índice par
\[ \sqrt{a^3} \]
Separamos:
\[ \sqrt{a^3}=\sqrt{a^2\cdot a}=\sqrt{a^2}\sqrt{a}=|a|\sqrt{a} \]
Como el índice es par, \(\sqrt{a^2}=|a|\).
Ejemplo 7: extracción con varias letras
\[ \sqrt{x^5y^2} \]
Separamos potencias convenientes:
\[ \sqrt{x^5y^2}=\sqrt{x^4\cdot x\cdot y^2} \]
\[ \sqrt{x^5y^2}=\sqrt{x^4}\sqrt{x}\sqrt{y^2}=x^2|y|\sqrt{x} \]
Ejemplo 8: cuando el valor absoluto se simplifica
\[ \sqrt{x^4} \]
Podemos escribir:
\[ \sqrt{x^4}=\sqrt{(x^2)^2}=|x^2| \]
Pero como \(x^2\ge 0\), se obtiene:
\[ |x^2|=x^2 \]
No siempre se puede sacar una letra sin valor absoluto.
Por ejemplo:
\[ \sqrt{a^2}\neq a \quad \text{en general} \]
Lo correcto es:
\[ \sqrt{a^2}=|a| \]
En expresiones como \(\sqrt{a^3}\) o \(\sqrt{x^5y^2}\), la raíz cuadrada exige que el radicando sea mayor o igual que cero para trabajar en \(\mathbb{R}\).
Guía de ejercicios
Ejercicios de aplicación
- \(3\sqrt{2}=\)
- \(2\sqrt[3]{5}=\)
- \(4\sqrt{3}=\)
- \(a\sqrt{b}=\)
- \(x\sqrt[3]{y}=\)
- \(\sqrt{50}=\)
- \(\sqrt{27}=\)
- \(\sqrt[3]{24}=\)
- \(\sqrt[3]{54}=\)
- \(\sqrt{72}=\)
- \(\sqrt{a^3}=\)
- \(\sqrt{x^5}=\)
- \(\sqrt{x^5y^2}=\)
- \(\sqrt{a^3b^4}=\)
- \(\sqrt[3]{x^4}=\)
- \(\sqrt[3]{x^7y^3}=\)
- \(\sqrt{16x^2}=\)
- \(\sqrt{36x^4}=\)
- \(\sqrt[4]{16x^5}=\)
- \(\sqrt[4]{81x^8}=\)
- \(\sqrt{x^2y^4}=\)
- \(\sqrt[3]{-54}=\)
- \(\sqrt[3]{-16x^3}=\)
- \(\sqrt{200}=\)
- ¿Existe \(\sqrt{-18}\) en \(\mathbb{R}\)? Justifica.
- \[ 3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18} \]
- \[ 2\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{2^3\cdot 5}=\sqrt[3]{40} \]
- \[ 4\sqrt{3}=\sqrt{4^2\cdot 3}=\sqrt{48} \]
- \[ a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b} \]
- \[ x\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{x^3y} \]
- \[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2} \]
- \[ \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3} \]
- \[ \sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3} \]
- \[ \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2} \]
- \[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2} \]
- \[ \sqrt{a^3}=\sqrt{a^2\cdot a}=|a|\sqrt{a} \]
- \[ \sqrt{x^5}=\sqrt{x^4\cdot x}=x^2\sqrt{x} \]
- \[ \sqrt{x^5y^2}=x^2|y|\sqrt{x} \]
- \[ \sqrt{a^3b^4}=\sqrt{a^2\cdot a\cdot b^4}=|a|b^2\sqrt{a} \]
- \[ \sqrt[3]{x^4}=\sqrt[3]{x^3\cdot x}=x\sqrt[3]{x} \]
- \[ \sqrt[3]{x^7y^3}=\sqrt[3]{x^6\cdot x\cdot y^3}=x^2y\sqrt[3]{x} \]
- \[ \sqrt{16x^2}=4|x| \]
- \[ \sqrt{36x^4}=6x^2 \]
- \[ \sqrt[4]{16x^5}=\sqrt[4]{2^4\cdot x^4\cdot x}=2|x|\sqrt[4]{x} \]
- \[ \sqrt[4]{81x^8}=3x^2 \]
- \[ \sqrt{x^2y^4}=|x|y^2 \]
- \[ \sqrt[3]{-54}=\sqrt[3]{-27\cdot 2}=-3\sqrt[3]{2} \]
- \[ \sqrt[3]{-16x^3}=\sqrt[3]{-8\cdot 2\cdot x^3}=-2x\sqrt[3]{2} \]
- \[ \sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2} \]
-
No existe en \(\mathbb{R}\).
La raíz cuadrada solo existe en los números reales si el radicando es mayor o igual que 0.
Como \(-18<0\), entonces \(\sqrt{-18}\) no es un número real.
Ejercicios guiados
Completa la expresión que falta:
- \(5\sqrt{2}=\sqrt{\square}\)
- \(2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{\square}\)
- \(\sqrt{18}=\square\sqrt{2}\)
- \(\sqrt[3]{54}=\square\sqrt[3]{2}\)
- \[ 5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50} \]
- \[ 2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=\sqrt[3]{24} \]
- \[ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2} \]
- \[ \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2} \]
Ejercicio de atención
Analiza la siguiente expresión:
\[ \sqrt{a^2}=a \]
¿Es correcta? Justifica.
No siempre es correcta.
Lo correcto es:
\[ \sqrt{a^2}=|a| \]
porque en una raíz de índice par, el resultado siempre es positivo o cero.
Resumen final
- Un factor entra a una raíz elevándose al índice.
- Un factor sale de una raíz si dentro aparece elevado al mismo índice.
- Introducir y extraer factores son procesos inversos.
- En índice par, al extraer letras, puede aparecer valor absoluto.
- Antes de simplificar, revisa si la expresión existe en \(\mathbb{R}\).
Ticket de salida
- ¿Qué debe ocurrir con un factor para poder salir de una raíz?
- ¿Cómo entra un 3 en una raíz cuadrada?
- Simplifica mentalmente: \(\sqrt{75}\).
- Debe estar elevado a una potencia igual al índice de la raíz.
- Entra como \(3^2\).
- \[ \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3} \]