Introducción a las Tasas de Cambio

Cambio Constante vs. Cambio Variable

En el mundo real, las cosas cambian. Algunas cambian a un ritmo *constante*, mientras que otras cambian a un ritmo *variable*. Entender la diferencia es crucial para modelar situaciones con funciones.

Ejemplo de Cambio Constante:

• Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 60 km/h. Cada hora, recorre *exactamente* 60 km más.
• Tabla:

  Tiempo	Distancia (km)
  0	0
  1	60
  2	120
  3	180

• Gráfico: Una línea recta.

Ejemplo de Cambio Variable:

• El crecimiento de una planta. Al principio, puede crecer muy rápido, luego más lentamente, y eventualmente detenerse.
• Tabla:

  Dia	Altura(cm)
  0	1
  1	2
  2	4
  3	7
  4	9
  5	10

• Gráfico: Una curva (no una línea recta).

Tasa de Cambio Promedio

La *tasa de cambio promedio* mide *cuánto* cambia una cantidad (la variable dependiente) en relación con el cambio en otra cantidad (la variable independiente), en un *intervalo* determinado.

Fórmula:

\[ \text{Tasa de Cambio Promedio} = \frac{\text{Cambio en la variable dependiente}}{\text{Cambio en la variable independiente}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Donde:

• \( \Delta y \) (delta y) representa el cambio en la variable dependiente (generalmente representada por "y").
• \( \Delta x \) (delta x) representa el cambio en la variable independiente (generalmente representada por "x").
• \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) son dos puntos en la relación (por ejemplo, dos puntos en una tabla de valores o en un gráfico).

Interpretación Gráfica:

En un gráfico, la tasa de cambio promedio es la *pendiente* de la *recta secante* que conecta dos puntos en la gráfica de la función.

(En Moodle, aquí insertarías una imagen que muestre una curva con dos puntos marcados y la recta secante que los une).

Ejemplo (usando la tabla de la planta):

• Calcula la tasa de cambio promedio de la altura de la planta entre el día 1 y el día 3.
  \( \Delta y = 7\text{ cm} - 2\text{ cm} = 5\text{ cm} \)
  \( \Delta x = 3\text{ días} - 1\text{ día} = 2\text{ días} \)
  Tasa de cambio promedio = \( \frac{5 \text{ cm}}{2 \text{ días}} = 2.5 \text{ cm/día} \)
• Interpretación: Entre el día 1 y el día 3, la planta creció, *en promedio*, 2.5 cm por día.

Casos Especiales:

• Tasa de cambio = 0: La variable dependiente no cambia (línea horizontal).
• Tasa de cambio positiva: La variable dependiente *aumenta* a medida que la variable independiente aumenta (línea o curva ascendente).
• Tasa de cambio negativa: La variable dependiente *disminuye* a medida que la variable independiente aumenta (línea o curva descendente).

Diferencia entre Función Lineal y No Lineal (Introducción)

Una función lineal tiene una *tasa de cambio constante*. Su gráfico es una línea recta. Una función *no lineal* tiene una *tasa de cambio variable*. Su gráfico es una curva.

Ejemplo (comparación):

• Función lineal: y = 2x + 1 (La tasa de cambio siempre es 2).
• Función no lineal: y = x² (La tasa de cambio depende del valor de x).

(Aquí, en Moodle, insertarías un gráfico que muestre una línea recta y una parábola, una al lado de la otra, para comparar).

En las siguientes páginas, exploraremos funciones no lineales (exponenciales y logarítmicas) que tienen tasas de cambio *muy* particulares.

Ejercicios

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