Datos , tablas , medidas centrales
2. Mediana y moda en datos sueltos [comparación entre medidas centrales] (PAES M1)
Mediana y moda en datos sueltos [comparación entre medidas centrales] (PAES M1)
Objetivo de la clase: identificar, calcular y comparar la mediana y la moda en conjuntos pequeños de datos, interpretando cuál de estas medidas centrales resulta más útil según el contexto.
Cuando analizamos un conjunto de datos, no siempre basta con calcular un promedio. A veces interesa conocer el valor que queda al centro del grupo y, en otras ocasiones, el valor que aparece con mayor frecuencia. Para eso usamos la mediana y la moda.
En esta clase aprenderás a calcular ambas medidas en datos sueltos, a compararlas y a decidir cuál entrega información más útil en distintas situaciones, tal como puede ocurrir en preguntas de PAES M1.
- Mediana: es el valor central de un conjunto de datos una vez ordenado.
- Si la cantidad de datos es impar, la mediana es el dato que queda justo al centro.
- Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio de los dos datos centrales.
- Moda: es el dato que más se repite.
- Un conjunto puede ser amodal (sin moda), unimodal (una moda) o bimodal o multimodal (dos o más modas).
Primero ordena los datos. Después pregúntate: ¿quiero el valor que queda al centro o el que más se repite? Si buscas el centro, calcula la mediana. Si buscas frecuencia, identifica la moda.
La mediana se fija en la posición de los datos ordenados, mientras que la moda se fija en la frecuencia de cada valor. Por eso, ambas medidas pueden ser distintas y describir aspectos diferentes de un mismo conjunto.
Ejemplo 1: mediana con cantidad impar de datos
Considera el conjunto:
\[ 7,\ 3,\ 5,\ 9,\ 4 \]
Paso 1: ordenar los datos.
\[ 3,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9 \]
Paso 2: buscar el dato central.
Como hay 5 datos, la mediana es el tercer valor:
\[ \text{Mediana}=5 \]
Paso 3: revisar si hay moda.
Ningún valor se repite, por lo tanto no hay moda.
Ejemplo 2: mediana con cantidad par de datos
Considera el conjunto:
\[ 2,\ 8,\ 5,\ 6 \]
Paso 1: ordenar los datos.
\[ 2,\ 5,\ 6,\ 8 \]
Paso 2: identificar los dos valores centrales.
Como hay 4 datos, los dos centrales son \(5\) y \(6\).
Paso 3: calcular el promedio de esos dos valores.
\[ \text{Mediana}=\dfrac{5+6}{2}=5{,}5 \]
Moda: no hay moda, porque ningún dato se repite.
Ejemplo 3: identificación de la moda
Considera el conjunto:
\[ 4,\ 6,\ 4,\ 7,\ 4,\ 9,\ 6 \]
Paso 1: ordenar los datos.
\[ 4,\ 4,\ 4,\ 6,\ 6,\ 7,\ 9 \]
Paso 2: calcular la mediana.
Como hay 7 datos, la mediana es el cuarto valor:
\[ \text{Mediana}=6 \]
Paso 3: identificar la moda.
El valor que más se repite es \(4\), por lo tanto:
\[ \text{Moda}=4 \]
Conclusión: en este conjunto, la mediana y la moda son distintas.
Ejemplo 4: conjunto bimodal
Analicemos los datos:
\[ 2,\ 3,\ 3,\ 5,\ 5,\ 8 \]
Los datos ya están ordenados.
Mediana: como hay 6 datos, se promedian los dos centrales:
\[ \text{Mediana}=\dfrac{3+5}{2}=4 \]
Moda: los valores \(3\) y \(5\) aparecen dos veces cada uno.
Entonces, el conjunto tiene dos modas y es bimodal.
Ejemplo 5: lectura de tabla e interpretación
La siguiente tabla muestra la cantidad de horas de sueño de una estudiante durante 7 noches:
| Noche | Horas de sueño |
|---|---|
| Lunes | 7 |
| Martes | 8 |
| Miércoles | 7 |
| Jueves | 6 |
| Viernes | 7 |
| Sábado | 9 |
| Domingo | 8 |
Los datos son:
\[ 7,\ 8,\ 7,\ 6,\ 7,\ 9,\ 8 \]
Ordenamos:
\[ 6,\ 7,\ 7,\ 7,\ 8,\ 8,\ 9 \]
Mediana: el valor central es \(7\).
Moda: el valor que más se repite es \(7\).
Interpretación: tanto la mediana como la moda indican que dormir 7 horas fue un valor central y frecuente en la semana.
- Buscar la mediana sin ordenar antes los datos.
- Creer que la moda es siempre el dato mayor.
- Pensar que todo conjunto tiene moda.
- Olvidar que, si hay cantidad par de datos, la mediana se obtiene promediando los dos valores centrales.
La moda se usa mucho cuando interesa conocer la opción más frecuente, por ejemplo la talla de calzado más vendida o la respuesta más común en una encuesta. La mediana, en cambio, es muy útil cuando se quiere describir un valor central sin dejarse arrastrar tanto por valores extremos, como puede ocurrir con tiempos, edades o ingresos.
La mediana y la moda no compiten entre sí: cada una responde una pregunta distinta. La mediana responde cuál es el valor central del conjunto ordenado. La moda responde cuál es el valor más frecuente. En PAES M1 muchas veces lo importante no es solo calcular, sino decidir cuál de las dos medidas entrega una mejor descripción del contexto.
Ejercicios de práctica
- Calcula la mediana de \(5,\ 2,\ 8,\ 1,\ 6\).
- Calcula la mediana de \(4,\ 7,\ 9,\ 10\).
- Determina la moda de \(3,\ 5,\ 3,\ 7,\ 8,\ 3\).
- Determina la moda de \(2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10\).
- Calcula la mediana y la moda de \(1,\ 2,\ 2,\ 4,\ 7,\ 7,\ 9\).
- Calcula la mediana y la moda de \(6,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10,\ 10\).
- Ordena los datos \(12,\ 9,\ 11,\ 9,\ 15,\ 10\) y luego calcula mediana y moda.
- Explica con tus palabras cuándo conviene observar la moda.
- Explica con tus palabras cuándo conviene observar la mediana.
- Construye un conjunto de 5 datos cuya mediana sea 8.
- Construye un conjunto de 6 datos que tenga dos modas.
- En el conjunto \(2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 20\), calcula la mediana y la moda. Luego indica cuál de las dos describe mejor al grupo.
- Ordenando: \(1,2,5,6,8\).
\[ \text{Mediana}=5 \] - Ordenados: \(4,7,9,10\).
\[ \text{Mediana}=\dfrac{7+9}{2}=8 \] - El valor que más se repite es \(3\).
\[ \text{Moda}=3 \] - Ningún valor se repite, por lo tanto el conjunto es amodal.
- Los datos ya están ordenados: \(1,2,2,4,7,7,9\).
\[ \text{Mediana}=4 \] Las modas son \(2\) y \(7\). El conjunto es bimodal. - Los datos ya están ordenados: \(6,6,8,9,10,10\).
\[ \text{Mediana}=\dfrac{8+9}{2}=8{,}5 \] Las modas son \(6\) y \(10\). - Ordenando: \(9,9,10,11,12,15\).
\[ \text{Mediana}=\dfrac{10+11}{2}=10{,}5 \] \[ \text{Moda}=9 \] - Conviene observar la moda cuando interesa saber cuál es el valor que aparece con mayor frecuencia, por ejemplo en tallas, colores preferidos o respuestas repetidas en una encuesta.
- Conviene observar la mediana cuando interesa identificar el valor central del grupo, especialmente si hay datos muy altos o muy bajos que podrían distorsionar otras medidas.
- Una posible respuesta es: \(5,7,8,9,12\).
La mediana es el dato central: \[ \text{Mediana}=8 \] - Una posible respuesta es: \(2,2,4,4,7,9\).
Las modas son \(2\) y \(4\). - Los datos ya están ordenados: \(2,2,3,4,20\).
\[ \text{Mediana}=3 \] \[ \text{Moda}=2 \] Una posible interpretación es que la mediana describe mejor el centro del grupo, mientras que la moda indica el valor más repetido.
Si una pregunta pide interpretar un conjunto con datos repetidos, piensa en la moda. Si pide analizar el valor central del grupo, especialmente con datos ordenados o con valores extremos, piensa en la mediana.
Ejercicios tipo PAES
- La mediana del conjunto \(3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11\) es:
- \(5\)
- \(7\)
- \(9\)
- \(8\)
- La moda del conjunto \(4,\ 6,\ 4,\ 8,\ 9,\ 4,\ 10\) es:
- \(6\)
- \(4\)
- \(8\)
- \(9\)
- El conjunto \(2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 8,\ 10\) tiene mediana igual a:
- \(5\)
- \(6{,}5\)
- \(5{,}5\)
- \(4\)
- ¿Cuál de los siguientes conjuntos es amodal?
- \(1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\)
- \(2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 5\)
- \(4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\)
- \(6,\ 6,\ 6,\ 8,\ 9\)
- En un grupo, las edades son \(12,\ 13,\ 13,\ 14,\ 20\). ¿Cuál afirmación es correcta?
- La mediana es 13 y la moda es 13.
- La mediana es 14 y la moda es 13.
- La mediana es 13 y no hay moda.
- La mediana es 14 y la moda es 20.
- En el conjunto \(1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 9\), ¿qué medida indica el valor más frecuente?
- La media
- La mediana
- La moda
- El rango
- Los datos ya están ordenados: \(3,5,7,9,11\).
Como hay 5 datos, la mediana es el valor central: \[ \text{Mediana}=7 \] Por lo tanto, la respuesta correcta es B. - El valor que más se repite es \(4\), pues aparece 3 veces.
\[ \text{Moda}=4 \] Por lo tanto, la respuesta correcta es B. - Hay 6 datos, por lo que la mediana es el promedio de los dos valores centrales: \[ \text{Mediana}=\dfrac{5+5}{2}=5 \] Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
- Un conjunto amodal no tiene valores repetidos.
El único conjunto donde ningún dato se repite es: \[ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \] Por lo tanto, la respuesta correcta es C. - Los datos ya están ordenados: \(12,13,13,14,20\).
La mediana es el valor central: \[ \text{Mediana}=13 \] La moda es el valor que más se repite: \[ \text{Moda}=13 \] Por lo tanto, la respuesta correcta es A. - La medida que indica el valor más frecuente es la moda.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
En PAES M1 no basta con saber calcular. También debes reconocer qué medida responde mejor a la pregunta: la mediana para el valor central y la moda para el valor más frecuente. Leer con atención qué se pide es tan importante como hacer bien la cuenta.