Datos , tablas , medidas centrales
11. Interpretación en contexto y decisión según situación [medidas centrales] (PAES M1)
Interpretación en contexto y decisión según situación [medidas centrales] (PAES M1)
Objetivo de la clase: resolver situaciones contextualizadas eligiendo y justificando la medida de tendencia central más adecuada, a partir de datos sueltos, tablas de frecuencias simples y tablas agrupadas.
En esta clase el foco no estará en aprender una fórmula nueva, sino en usar lo ya aprendido para tomar decisiones estadísticas con sentido. En muchos problemas no basta con calcular media, mediana o moda: también hay que decidir cuál de ellas responde mejor a la pregunta del contexto.
Por eso, aquí trabajaremos con situaciones donde lo importante será interpretar qué se quiere describir: un promedio global, un valor central resistente a extremos o el valor más frecuente.
- Media: conviene cuando se quiere resumir el comportamiento global de un conjunto cuantitativo y no hay valores extremos que distorsionen demasiado.
- Mediana: conviene cuando interesa el valor central del grupo y se quiere resistir mejor el efecto de valores muy altos o muy bajos.
- Moda: conviene cuando interesa saber qué valor o categoría aparece con mayor frecuencia.
- ¿El problema pide un promedio general?
- ¿El problema pide un valor típico o central sin dejarse arrastrar por extremos?
- ¿El problema pide identificar lo que más se repite?
- ¿Los datos son numéricos o son categorías?
Elegir bien una medida central depende del contexto. La media, la mediana y la moda no compiten entre sí: cada una destaca un aspecto distinto del conjunto. En una buena respuesta no basta con nombrar una medida; también hay que justificar por qué esa medida es la más adecuada.
- Usar la media en datos cualitativos, como tallas, colores o medios de transporte.
- Elegir la moda cuando el problema pide describir el centro del grupo.
- Elegir la media sin revisar si hay valores extremos.
- Responder solo con el nombre de la medida y no justificarla con el contexto.
Ejemplo 1: cuando conviene la media
Las notas de un estudiante en 5 evaluaciones son:
\[ 5{,}8,\ 6{,}0,\ 6{,}1,\ 6{,}2,\ 6{,}4 \]
Media:
\[ \bar{x}=\frac{5{,}8+6{,}0+6{,}1+6{,}2+6{,}4}{5}=\frac{30{,}5}{5}=6{,}1 \]
Mediana: \(6{,}1\)
Moda: no hay moda.
Decisión: aquí conviene la media, porque los datos son cuantitativos, equilibrados y no hay valores extremos que la distorsionen.
Ejemplo 2: cuando conviene la mediana
Los ingresos diarios, en miles de pesos, de 7 personas son:
\[ 18,\ 19,\ 20,\ 20,\ 21,\ 22,\ 60 \]
Media:
\[ \bar{x}=\frac{18+19+20+20+21+22+60}{7}=\frac{180}{7}\approx 25{,}71 \]
Mediana: \(20\)
Moda: \(20\)
Decisión: si se quiere describir el ingreso “típico” del grupo, conviene la mediana, porque el valor 60 eleva demasiado la media.
Ejemplo 3: cuando conviene la moda
Las tallas de zapatillas más vendidas en una tienda fueron:
\[ 37,\ 38,\ 38,\ 38,\ 39,\ 39,\ 40,\ 41 \]
Media:
\[ \bar{x}=\frac{37+38+38+38+39+39+40+41}{8}=\frac{310}{8}=38{,}75 \]
Mediana:
\[ Me=\frac{38+39}{2}=38{,}5 \]
Moda: \(38\)
Decisión: si la tienda quiere saber qué talla conviene reponer, la medida más útil es la moda, porque indica la talla más vendida.
Ejemplo 4: decisión en una tabla agrupada
La siguiente tabla resume tiempos de traslado, en minutos, de 20 estudiantes:
| Intervalo | \(f\) | \(F\) |
|---|---|---|
| \(0{-}9\) | 2 | 2 |
| \(10{-}19\) | 8 | 10 |
| \(20{-}29\) | 7 | 17 |
| \(30{-}39\) | 2 | 19 |
| \(80{-}89\) | 1 | 20 |
Aquí aparece un intervalo muy alto al final, lo que sugiere un valor extremo.
Decisión: si se quiere describir el tiempo “típico” de traslado, la mediana suele ser más conveniente que la media, porque resiste mejor la influencia del intervalo extremo \(80{-}89\).
La media se usa mucho para resumir notas, temperaturas o puntajes. La mediana es muy útil en ingresos, precios y tiempos cuando hay valores extremos. La moda es ideal para describir tallas, preferencias, respuestas frecuentes y categorías.
Ejercicios de práctica
- Con los datos \(1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5\), construye una tabla de frecuencias simple, calcula media, mediana y moda, y luego indica cuál medida representa mejor el “valor más habitual”.
- Los ingresos diarios, en miles de pesos, de un grupo son \(18,\ 19,\ 20,\ 20,\ 21,\ 22,\ 60\). Calcula media, mediana y moda. Luego justifica qué medida describe mejor el ingreso típico.
- Las tallas de polerón pedidas por un curso son \(S,\ M,\ M,\ L,\ M,\ S,\ M,\ L,\ XL\). ¿Qué medida central conviene usar aquí y por qué?
- Las notas de un estudiante son \(5{,}0,\ 5{,}5,\ 6{,}0,\ 6{,}0,\ 6{,}5,\ 7{,}0\). Calcula media, mediana y moda. Luego comenta qué sugiere el hecho de que las tres coincidan.
- Con los datos \(12,\ 13,\ 15,\ 16,\ 16,\ 17,\ 18,\ 18,\ 18,\ 19,\ 20,\ 21,\ 22,\ 22,\ 23,\ 24,\ 25,\ 26,\ 27,\ 28\), construye una tabla de frecuencias simple y calcula media, mediana y moda exactas. Luego agrupa en los intervalos \(10{-}14,\ 15{-}19,\ 20{-}24,\ 25{-}29\) y compara con las medidas agrupadas.
- La siguiente tabla resume tiempos de traslado, en minutos, de 20 estudiantes:
| Intervalo | \(f\) | \(F\) |
|---|---|---|
| \(0{-}9\) | 2 | 2 |
| \(10{-}19\) | 8 | 10 |
| \(20{-}29\) | 7 | 17 |
| \(30{-}39\) | 2 | 19 |
| \(80{-}89\) | 1 | 20 |
- Calcula media agrupada, mediana agrupada y moda agrupada. Luego justifica cuál medida representa mejor el tiempo “típico” de traslado.
- En una encuesta sobre medio de transporte al colegio se obtuvieron estas respuestas: bus, bus, bicicleta, caminar, bus, auto, caminar, bus. ¿Qué medida central tiene sentido usar aquí? Justifica.
- Los precios de unas entradas son \(5,\ 5,\ 5,\ 6,\ 6,\ 50\). Calcula media, mediana y moda. Luego indica qué medida conviene usar si se quiere describir el valor central sin que el precio 50 distorsione el resultado.
- Observa la siguiente tabla:
| Intervalo | \(f\) | \(F\) |
|---|---|---|
| \(0{-}9\) | 9 | 9 |
| \(10{-}19\) | 3 | 12 |
| \(20{-}29\) | 6 | 18 |
| \(30{-}39\) | 5 | 23 |
- Indica cuál es la clase modal y cuál es la clase mediana. Luego explica qué pregunta responde mejor la moda y qué pregunta responde mejor la mediana.
- Construye un ejemplo propio, con al menos 5 datos, en el que la mediana represente mejor el contexto que la media. Explica por qué.
- Tabla:
\[ \bar{x}=\frac{28}{9}\approx 3{,}11,\qquad Me=3,\qquad Mo=4 \] Si se pregunta por el valor más habitual, conviene usar la moda, porque identifica el valor más repetido.\(x_i\) \(f_i\) \(x_i\cdot f_i\) \(F\) 1 1 1 1 2 2 4 3 3 2 6 5 4 3 12 8 5 1 5 9 Total 9 28 9 - \[ \bar{x}=\frac{180}{7}\approx 25{,}71,\qquad Me=20,\qquad Mo=20 \] La mejor medida para describir el ingreso típico es la mediana, porque el valor 60 distorsiona mucho la media.
- Aquí conviene usar la moda, porque se trata de categorías y lo que interesa es saber cuál talla aparece más veces. La moda es \(M\).
- \[ \bar{x}=\frac{5{,}0+5{,}5+6{,}0+6{,}0+6{,}5+7{,}0}{6}=\frac{36}{6}=6{,}0 \] \[ Me=\frac{6{,}0+6{,}0}{2}=6{,}0,\qquad Mo=6{,}0 \] Que las tres coincidan sugiere que el conjunto está bastante equilibrado alrededor de 6,0.
- Medidas exactas:
Total: \[ n=20 \] Suma: \[ 400 \] Entonces: \[ \bar{x}=20 \] Mediana: \[ Me=\frac{19+20}{2}=19{,}5 \] Moda: \[ Mo=18 \] Tabla agrupada:
\[ \bar{x}\approx \frac{400}{20}=20 \] \[ Me\approx 14{,}5+\left(\frac{10-2}{8}\right)\cdot 5=19{,}5 \] \[ Mo\approx 14{,}5+\left(\frac{8-2}{(8-2)+(8-6)}\right)\cdot 5 \] \[ Mo\approx 14{,}5+\left(\frac{6}{8}\right)\cdot 5=18{,}25 \] La media y la mediana quedan muy cercanas a las exactas, mientras que la moda pasa de \(18\) a una estimación \(18{,}25\). Esto muestra que agrupar puede conservar bastante bien el centro, pero sigue implicando pérdida de precisión.Intervalo Marca de clase \(f\) \(f\cdot x_i\) \(F\) \(10{-}14\) 12 2 24 2 \(15{-}19\) 17 8 136 10 \(20{-}24\) 22 6 132 16 \(25{-}29\) 27 4 108 20 Total 20 400 20 - Media agrupada: Las marcas de clase son \(4{,}5,\ 14{,}5,\ 24{,}5,\ 34{,}5,\ 84{,}5\). \[ \sum f_i x_i = 2\cdot 4{,}5 + 8\cdot 14{,}5 + 7\cdot 24{,}5 + 2\cdot 34{,}5 + 1\cdot 84{,}5 \] \[ \sum f_i x_i = 9+116+171{,}5+69+84{,}5=450 \] \[ \bar{x}\approx \frac{450}{20}=22{,}5 \] Mediana agrupada:
\[ \frac{20}{2}=10 \] El intervalo mediano es \(10{-}19\). \[ Me\approx 9{,}5+\left(\frac{10-2}{8}\right)\cdot 10=19{,}5 \] Moda agrupada:
La clase modal es \(10{-}19\). \[ d_1=8-2=6,\qquad d_2=8-7=1 \] \[ Mo\approx 9{,}5+\left(\frac{6}{7}\right)\cdot 10\approx 18{,}07 \] La mejor medida para el tiempo típico es la mediana, porque hay un valor extremo en \(80{-}89\) que eleva bastante la media. - Aquí la medida adecuada es la moda, porque se trata de categorías. La respuesta más frecuente es bus.
- \[ \bar{x}=\frac{5+5+5+6+6+50}{6}=\frac{77}{6}\approx 12{,}83 \] \[ Me=\frac{5+6}{2}=5{,}5,\qquad Mo=5 \] Si se quiere describir el valor central sin que el 50 distorsione el resultado, conviene usar la mediana.
- La clase modal es \(0{-}9\), porque tiene frecuencia 9.
Como \(n=23\), \[ \frac{23}{2}=11{,}5 \] La frecuencia acumulada pasa de 9 a 12 en \(10{-}19\), así que la clase mediana es \(10{-}19\). La moda responde mejor la pregunta “¿dónde está la mayor concentración de datos?”.
La mediana responde mejor la pregunta “¿dónde está el centro de la distribución?”. - Una posible respuesta es: \[ 10,\ 11,\ 11,\ 12,\ 60 \] \[ \bar{x}=\frac{104}{5}=20{,}8,\qquad Me=11,\qquad Mo=11 \] La mediana representa mejor el contexto que la media, porque el valor 60 empuja mucho el promedio hacia arriba.
Antes de calcular, pregúntate qué se quiere describir: un promedio global, un valor central resistente o el valor más frecuente. Esa decisión suele ser más importante que la cuenta misma.
Ejercicios tipo PAES
- En un grupo, los tiempos de viaje al colegio son \(12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 18,\ 70\). Si se quiere describir el tiempo “típico” sin que un valor extremo distorsione el resultado, la medida más adecuada es:
- la moda
- la mediana
- la media
- ninguna de las tres
- Una tienda quiere saber qué talla de zapatilla debe reponer con mayor urgencia. La medida central más útil es:
- la media
- la mediana
- la media agrupada
- la moda
- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- En una tabla de frecuencias simple, las medidas siguen siendo exactas; en datos agrupados suelen ser aproximadas.
- En datos agrupados, la media siempre coincide exactamente con la media real.
- Agrupar datos no produce ninguna pérdida de información.
- La moda agrupada siempre coincide con una de las modas exactas.
- En una distribución de puntajes bastante equilibrada y sin valores extremos importantes, si se quiere resumir el rendimiento general del curso, conviene usar principalmente:
- la moda
- la mediana
- la media
- la amplitud
- En una encuesta sobre medio de transporte al colegio se obtienen respuestas como “bus”, “bicicleta”, “auto” y “caminar”. La medida central que tiene más sentido usar es:
- la media
- la moda
- la mediana
- la media agrupada
- Al agrupar un conjunto de datos que originalmente era bimodal en intervalos amplios, puede ocurrir que:
- la media desaparezca
- la mediana se vuelva exacta
- la frecuencia acumulada deje de tener sentido
- se oculte una parte de la información original sobre las modas
- La mediana es la más adecuada, porque el valor 70 es extremo y empuja la media hacia arriba.
Respuesta correcta: B - La tienda necesita saber cuál talla se repite más.
Respuesta correcta: D - La única afirmación correcta es que en la tabla simple las medidas siguen siendo exactas, mientras que en datos agrupados suelen ser aproximadas.
Respuesta correcta: A - Si la distribución es equilibrada y no tiene valores extremos importantes, la media resume bien el rendimiento global.
Respuesta correcta: C - Como se trata de categorías, la medida adecuada es la moda.
Respuesta correcta: B - Al agrupar datos, se puede perder detalle y ocultar que antes había más de una moda exacta.
Respuesta correcta: D
En PAES M1 no basta con calcular media, mediana o moda. También debes reconocer cuál conviene usar, qué información entrega y cómo justificar tu elección según la situación que se analiza.