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La Función Exponencial

1. Crecimiento y Decrecimiento Exponencial

Crecimiento y Decrecimiento Exponencial: Un Cambio Acelerado

En la página anterior, vimos que las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. Pero en muchas situaciones del mundo real, las cosas cambian de una manera muy diferente: cada vez más rápido (crecimiento) o cada vez más lento (decrecimiento).

🌍 Crecimiento Exponencial: El Poder de la Multiplicación

Imagina una situación donde una cantidad se multiplica por un factor constante en cada intervalo de tiempo. Por ejemplo, una población de bacterias que se duplica cada hora.

Tabla de Crecimiento de Bacterias (factor x2 cada hora):
Hora N° de Bacterias
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16

Al principio el crecimiento parece lento, pero luego se acelera drásticamente. Esto se debe a que el cambio es proporcional a la cantidad actual.

Ejemplo: Crecimiento de una ciudad

Una ciudad con 1,000 habitantes triplica su población cada 10 años. ¿Cuántas personas habrá en 50 años?

En 50 años, hay 5 periodos de 10 años. La población se triplicará 5 veces.

Población Final = \(1000 \cdot 3^5 = 1000 \cdot 243 = 243,000\) habitantes.

🌍 Decrecimiento Exponencial: Reducción Fraccional

Aquí, una cantidad se divide por un factor constante (o se multiplica por una fracción) en cada intervalo de tiempo. Por ejemplo, la cantidad de un medicamento en el cuerpo que se reduce a la mitad cada 8 horas.

Ejemplo: Isótopo Radiactivo

El yodo-131 se reduce a un tercio cada 8 días. Si tenemos 81 gramos, ¿cuánto quedará en 40 días?

En 40 días, hay 5 periodos de 8 días. La cantidad se reducirá a un tercio 5 veces.

Cantidad Final = \(81 \cdot (\frac{1}{3})^5 = 81 \cdot \frac{1}{243} = \frac{81}{243} = \frac{1}{3}\) gramos.

💡 Lineal vs. Exponencial: La Gran Diferencia

  • Lineal: El cambio es aditivo. Se suma o resta la misma cantidad en cada paso (ej: +10, +10, +10...).
  • Exponencial: El cambio es multiplicativo. Se multiplica por el mismo factor en cada paso (ej: x2, x2, x2...).

Ejercicios

1. Identifica el tipo de crecimiento o decrecimiento en cada caso:
  1. Un tanque de agua pierde 5 litros cada hora.
  2. Una inversión aumenta un 10% cada año.
  3. Una población de conejos se triplica cada mes.
  4. Un automóvil recorre 80 km cada hora.
  5. La cantidad de un isótopo radiactivo se reduce a la mitad cada 100 años.
2. Una población de 50 insectos se duplica cada semana.
  1. Completa la tabla para las primeras 4 semanas.
  2. ¿Cuántos insectos habrá después de 6 semanas?
Semana Población
0 50
1 ?
2 ?
3 ?
4 ?
3. Una sustancia radiactiva de 200 gramos se reduce a la mitad cada 5 años.
  1. ¿Cuántos gramos quedarán después de 15 años?
  2. ¿Cuántos gramos quedarán después de 40 años?