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Representación gráfica

8. Ojiva o frecuencia acumulada [lectura de acumulaciones, percentiles intuitivos]

Ojiva o frecuencia acumulada [lectura de acumulaciones, percentiles intuitivos]

Objetivo de la clase: construir e interpretar una ojiva o gráfico de frecuencia acumulada, leyendo acumulaciones por intervalos y estimando de manera intuitiva valores asociados a porcentajes del total, como la mediana o algunos percentiles simples.

Hasta ahora has trabajado con tablas de frecuencias, histogramas y polígonos de frecuencias. En esta clase aparece otra representación muy útil: la ojiva, también llamada gráfico de frecuencia acumulada.

Su foco no está en mostrar cuántos datos hay en cada intervalo por separado, sino en responder preguntas del tipo: ¿cuántos datos se acumulan hasta cierto valor?, ¿qué porcentaje del grupo queda bajo cierto límite? o ¿aproximadamente dónde queda el 50% del total?

📐 ¿Qué representa una ojiva?

Una ojiva muestra la frecuencia acumulada a medida que avanzan los intervalos.

Si \(F\) es la frecuencia acumulada, entonces cada punto del gráfico indica cuántos datos se han reunido hasta cierto valor de la variable.

En una tabla agrupada, la ojiva suele construirse usando:

  • en el eje horizontal, el valor hasta el cual se va acumulando la variable,
  • en el eje vertical, la frecuencia acumulada.

Además, conviene incluir el punto inicial \((0,0)\) o el punto correspondiente al inicio del primer tramo, para representar que al comienzo aún no se ha acumulado ningún dato.

💡 Preguntas que una ojiva ayuda a responder
  • ¿Cuántos datos hay acumulados hasta cierto valor?
  • ¿Qué porcentaje del grupo queda bajo un determinado límite?
  • ¿Aproximadamente dónde se ubica el 25%, 50% o 75% del total?
  • ¿En qué zona crece más rápido la acumulación?
⚠️ Error frecuente

No confundas frecuencia con frecuencia acumulada. Si en un intervalo hay frecuencia 7, eso no significa que la ojiva marque 7 en ese punto: la ojiva marca la suma acumulada hasta ese valor.

🤓 Idea importante

En una ojiva, una subida más pronunciada indica que en esa zona se acumulan muchos datos. En cambio, si el gráfico sube poco, significa que en ese tramo se agregan pocos datos nuevos.

Ejemplo 1: construir la ojiva desde una tabla

Los tiempos de lectura diaria, en minutos, de un grupo de estudiantes se agruparon así:

Intervalo Frecuencia \(f\) Frecuencia acumulada \(F\) Tiempo considerado hasta (min)
\(0{-}9\) 3 3 10
\(10{-}19\) 5 8 20
\(20{-}29\) 7 15 30
\(30{-}39\) 4 19 40
\(40{-}49\) 1 20 50

Como el total es \(20\), una forma clara de construir la ojiva es usar los puntos:

\[(0,0),\ (10,3),\ (20,8),\ (30,15),\ (40,19),\ (50,20)\]

Lectura: hasta el valor \(30\) se acumulan \(15\) estudiantes. Eso significa que, al terminar el tramo \(20{-}29\), ya van acumulados \(15\) estudiantes.

Ejemplo 2: leer acumulaciones

Observa la siguiente ojiva de puntajes:

Del gráfico se puede interpretar que:

  • hasta \(20\) puntos se acumulan \(6\) estudiantes,
  • hasta \(40\) puntos se acumulan \(18\) estudiantes,
  • el total del grupo es \(25\) estudiantes.

Idea clave: la ojiva permite responder preguntas del tipo “¿cuántos van acumulados hasta aquí?”.

Ejemplo 3: lectura intuitiva de la mediana

En la ojiva del ejemplo anterior, el total es \(25\). La mitad es:

\[\frac{25}{2}=12{,}5\]

Entonces, para ubicar intuitivamente la mediana, buscamos en el eje vertical el valor \(12{,}5\) y observamos en qué zona del eje horizontal cae.

Como en la ojiva:

  • hasta \(30\) se acumulan \(12\),
  • hasta \(40\) se acumulan \(18\),

la mediana queda aproximadamente entre \(30\) y \(40\).

🤓 Lectura intuitiva

Aquí no estamos aplicando todavía una fórmula exacta de percentiles. Solo usamos la idea de que el percentil 50, o mediana, deja aproximadamente al 50% de los datos por debajo.

Ejemplo 4: percentiles intuitivos

Considera ahora esta ojiva:

Como el total es \(30\):

  • el \(25\%\) corresponde a \(0{,}25\cdot 30=7{,}5\),
  • el \(50\%\) corresponde a \(15\),
  • el \(75\%\) corresponde a \(22{,}5\).

Entonces, de manera intuitiva:

  • el 25% queda entre \(5\) y \(10\),
  • el 50% queda entre \(10\) y \(15\),
  • el 75% queda entre \(15\) y \(20\).

Interpretación: la ojiva permite aproximar zonas donde quedan ubicados ciertos porcentajes acumulados del total.

🌍 Uso en la vida real

Las ojivas aparecen cuando interesa estudiar acumulaciones: cuántas personas están bajo cierto ingreso, cuántos estudiantes obtuvieron a lo más un puntaje, cuántos viajes duran como máximo cierto tiempo, o en qué rango cae aproximadamente la mitad de una población.

Ejercicios de práctica

  1. Explica con tus palabras qué diferencia hay entre frecuencia y frecuencia acumulada.
  2. ¿Qué tipo de pregunta responde mejor una ojiva: “cuántos hay en este intervalo” o “cuántos se acumulan hasta este valor”? Explica.
  3. Observa la siguiente tabla:
Intervalo Frecuencia \(f\) Frecuencia acumulada \(F\) Valor considerado hasta
\(0{-}9\) 2 2 10
\(10{-}19\) 4 6 20
\(20{-}29\) 6 12 30
\(30{-}39\) 5 17 40
\(40{-}49\) 3 20 50
  1. Construye la ojiva correspondiente usando los valores del eje horizontal y las frecuencias acumuladas.
  2. ¿Cuántos datos se acumulan hasta \(30\)?
  3. ¿Cuántos datos se acumulan hasta \(40\)?
  4. ¿Cuál es el total del conjunto?
  5. Observa la siguiente ojiva:
  1. ¿Cuántos datos se acumulan hasta \(20\)?
  2. ¿Cuántos datos se acumulan hasta \(40\)?
  3. ¿En qué tramo parece crecer más rápido la acumulación?
  4. Escribe una conclusión correcta que sí pueda obtenerse del gráfico.
  5. Escribe una afirmación que no pueda concluirse solo observando la ojiva.
  6. Si el total es \(20\), estima intuitivamente en qué intervalo se ubica el 50% acumulado.
💡 Pista para PAES

En una ojiva, busca siempre primero el total y luego ubica el valor acumulado que te interesa: \(25\%\), \(50\%\), \(75\%\) o cualquier cantidad dada. Después interpreta en qué zona del eje horizontal cae.

Ejercicios tipo PAES

Observa la siguiente ojiva:

  1. ¿Cuántos datos se acumulan hasta \(20\)?
    1. 4
    2. 9
    3. 15
    4. 19
  2. El total de datos representado en la ojiva es:
    1. 15
    2. 19
    3. 20
    4. 24
  3. Si se quiere ubicar intuitivamente la mediana, se debe buscar en el eje vertical:
    1. el doble del total
    2. la mitad del total
    3. el valor máximo del eje horizontal
    4. la frecuencia del primer intervalo
  4. En la ojiva dada, el 50% del total se ubica aproximadamente:
    1. antes de \(10\)
    2. entre \(10\) y \(20\)
    3. entre \(20\) y \(30\)
    4. después de \(40\)
  5. ¿Cuál afirmación es correcta?
    1. La ojiva muestra frecuencias por intervalo, no acumulaciones.
    2. La ojiva permite leer cuántos datos se acumulan hasta cierto valor.
    3. La ojiva solo se usa con variables cualitativas.
    4. La ojiva no sirve para estimar porcentajes acumulados.
  6. Si el total es \(20\), el 75% corresponde a:
    1. 5
    2. 10
    3. 15
    4. 18
⚠️ Conclusión importante

La ojiva no reemplaza a la tabla de frecuencias ni al histograma, pero aporta una lectura distinta: permite observar cómo se van acumulando los datos y aproximar de manera intuitiva posiciones como el 25%, el 50% o el 75% del total.