Estadistica
2. Situaciones de dos resultados posibles
Situaciones de dos resultados posibles
En muchas situaciones aleatorias, cada intento tiene solo dos resultados posibles. Por ejemplo: acertar o fallar, aprobar o no aprobar, encender o no encender, ganar o perder. A este tipo de situaciones las describiremos con las categorías éxito y fracaso.
Esta idea será la base para estudiar más adelante el modelo binomial. Por ahora, nos interesa reconocer cuándo una situación puede representarse con esos dos resultados y cómo describirla correctamente.
Objetivo de la página
- Reconocer situaciones con dos resultados posibles.
- Identificar qué se considera éxito y qué se considera fracaso según el contexto.
- Relacionar experiencias cotidianas con la lógica inicial del modelo binomial.
- Calcular probabilidades simples en ensayos de éxito/fracaso.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Determinar si una situación puede modelarse con dos resultados posibles.
- Definir con claridad el éxito en un experimento.
- Calcular probabilidades simples asociadas a éxito o fracaso.
En un experimento de dos resultados posibles, cada ensayo se clasifica en una de estas dos categorías:
- Éxito: ocurre el resultado que nos interesa observar.
- Fracaso: no ocurre el resultado que nos interesa.
Si la probabilidad de éxito es \(p\), entonces la probabilidad de fracaso es:
\[ 1-p \]
Éxito no significa necesariamente “algo bueno”. En probabilidad, éxito es simplemente el resultado que decidimos estudiar.
Por ejemplo, al lanzar una moneda, si estamos interesados en obtener sello, entonces:
- Éxito: obtener sello.
- Fracaso: no obtener sello.
No confundas “éxito” con “resultado favorable en la vida real”. En matemáticas, éxito es solo la categoría que definimos como importante para el problema.
Situaciones cotidianas de éxito y fracaso
| Situación | Éxito | Fracaso |
|---|---|---|
| Lanzar una moneda | Obtener cara | No obtener cara |
| Responder una pregunta | Responder correctamente | Responder incorrectamente |
| Fabricar una pieza | La pieza no tiene defectos | La pieza tiene defecto |
| Lanzar un dado | Obtener un número par | No obtener un número par |
| Encestar en básquetbol | Encestar | No encestar |
Ejemplo guiado 1
Se lanza una moneda equilibrada y se define como éxito “obtener cara”.
Los resultados posibles son: cara o sello.
Si el éxito es obtener cara, entonces:
- \(P(\text{éxito})=P(\text{cara})=\frac{1}{2}\)
- \(P(\text{fracaso})=P(\text{sello})=\frac{1}{2}\)
Ejemplo guiado 2
Se lanza un dado equilibrado y se define como éxito “obtener un número mayor que 4”.
Espacio muestral: \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
Éxito: obtener 5 o 6.
Entonces:
\[ P(\text{éxito})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \]
Ejemplo guiado 3
En una caja hay 7 ampolletas buenas y 3 defectuosas. Se extrae una al azar. Se define éxito como “extraer una ampolleta defectuosa”.
Total de ampolletas: \(7+3=10\)
Casos favorables al éxito: 3
\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{10} \]
Entonces:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} \]
Porque en el modelo binomial se repite varias veces un mismo tipo de ensayo y en cada uno solo hay dos opciones: éxito o fracaso. En esta página todavía trabajamos con situaciones simples, pero ya estamos construyendo esa idea.
En encuestas, controles de calidad, medicina, deportes y estudios de opinión se analizan muchas veces variables de dos resultados: sí/no, aprueba/no aprueba, compra/no compra, presenta falla/no presenta falla. Por eso este modelo es tan importante.
Ejercicios
Ejercicio 1
Indica si la siguiente situación puede modelarse con dos resultados posibles:
“Se lanza una moneda y se observa si sale cara”.
Luego identifica el éxito y el fracaso.
Sí, puede modelarse con dos resultados posibles.
- Éxito: obtener cara.
- Fracaso: no obtener cara.
Ejercicio 2
En una prueba de selección múltiple se considera éxito “responder correctamente una pregunta”.
Escribe cuál sería el fracaso.
El fracaso es no responder correctamente la pregunta, es decir, equivocarse.
Ejercicio 3
Se lanza un dado equilibrado y se define como éxito “obtener un número par”.
- Escribe los resultados de éxito.
- Calcula la probabilidad de éxito.
- Calcula la probabilidad de fracaso.
a) Los resultados de éxito son \(\{2,4,6\}\).
b) \[ P(\text{éxito})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
c) \[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 4
En una bolsa hay 6 fichas rojas y 4 fichas azules. Se extrae una ficha al azar. Se define éxito “obtener una ficha azul”.
- Calcula la probabilidad de éxito.
- Calcula la probabilidad de fracaso.
Total de fichas: \(6+4=10\)
a) \[ P(\text{éxito})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]
b) \[ P(\text{fracaso})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} \]
Ejercicio 5
Una ruleta tiene 5 sectores iguales numerados del 1 al 5. Se define éxito “obtener un número menor que 3”.
- Escribe los resultados que corresponden al éxito.
- Calcula la probabilidad de éxito.
a) Los resultados son \(\{1,2\}\).
b) \[ P(\text{éxito})=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 6
Se extrae al azar una carta numerada del 1 al 12. Se define éxito “obtener un múltiplo de 4”.
- ¿Cuáles son los resultados de éxito?
- ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
- ¿Cuál es la probabilidad de fracaso?
a) Los múltiplos de 4 entre 1 y 12 son \(\{4,8,12\}\).
b) \[ P(\text{éxito})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} \]
c) \[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \]
Ejercicio 7
En una fábrica, una pieza puede salir defectuosa o sin defecto. En un lote pequeño se observa que 2 de 20 piezas son defectuosas.
- Si se define éxito “la pieza es defectuosa”, ¿cuál es la probabilidad de éxito?
- ¿Cuál es la probabilidad de fracaso?
a) \[ P(\text{éxito})=\frac{2}{20}=\frac{1}{10} \]
b) \[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10} \]
Ejercicio 8
En un lanzamiento de básquetbol se considera éxito “encestar”. Si una jugadora encesta 7 de cada 10 lanzamientos en promedio, responde:
- ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
- ¿Cuál es la probabilidad de fracaso?
a) \[ P(\text{éxito})=\frac{7}{10} \]
b) \[ P(\text{fracaso})=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10} \]
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Al lanzar un dado equilibrado, se define éxito “obtener un número primo”. ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
- \(\frac{1}{6}\)
- \(\frac{2}{6}\)
- \(\frac{3}{6}\)
- \(\frac{4}{6}\)
Los números primos en un dado son \(\{2,3,5\}\), es decir, 3 resultados favorables.
\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{6} \]
Alternativa correcta: c
PAES 2
En una bolsa hay 3 bolitas verdes y 5 bolitas amarillas. Se extrae una bolita al azar. Si el éxito es “sacar una bolita verde”, ¿cuál es la probabilidad de fracaso?
- \(\frac{3}{8}\)
- \(\frac{5}{8}\)
- \(\frac{1}{8}\)
- \(\frac{3}{5}\)
Total: \(3+5=8\)
\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{8} \]
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8} \]
Alternativa correcta: b
PAES 3
¿En cuál de las siguientes situaciones se puede aplicar correctamente un modelo de dos resultados posibles?
- Registrar el número exacto que sale al lanzar un dado.
- Clasificar una respuesta como correcta o incorrecta.
- Identificar el mes de cumpleaños de una persona.
- Elegir una carta entre 52 distintas y anotar su pinta exacta.
La situación que tiene dos categorías naturales es correcta o incorrecta.
Alternativa correcta: b
PAES 4
Una situación se modela con éxito y fracaso. Si la probabilidad de éxito es \(\frac{2}{7}\), entonces la probabilidad de fracaso es:
- \(\frac{5}{7}\)
- \(\frac{2}{5}\)
- \(\frac{1}{7}\)
- \(\frac{9}{7}\)
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7} \]
Alternativa correcta: a
Cierre
En esta página estudiamos situaciones con dos resultados posibles y vimos que la elección de lo que se llama éxito depende de lo que interesa analizar. Esta idea será fundamental cuando avancemos hacia ensayos repetidos y lectura de parámetros del modelo binomial.
- Éxito y fracaso son categorías matemáticas.
- La probabilidad de fracaso se obtiene con \(1-p\).
- Estas situaciones preparan el estudio del modelo binomial.