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3. Ensayos repetidos e independencia
Ensayos repetidos e independencia
En la página anterior trabajamos con situaciones de dos resultados posibles: éxito o fracaso. Ahora avanzaremos un paso más: estudiaremos qué ocurre cuando ese mismo tipo de experimento se repite varias veces.
Esta idea es la base del modelo binomial. Para usarlo correctamente, necesitamos reconocer tres elementos fundamentales:
- que haya un número fijo de ensayos,
- que en cada ensayo existan dos resultados posibles,
- y que los ensayos sean independientes.
Objetivo de la página
- Comprender qué significa repetir un ensayo aleatorio.
- Reconocer cuándo los ensayos son independientes.
- Identificar los parámetros principales del modelo binomial.
- Interpretar el significado de \(n\), \(p\), éxito y variable aleatoria en contexto.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Decidir si una situación puede modelarse con una distribución binomial.
- Reconocer el número de ensayos \(n\).
- Reconocer la probabilidad de éxito \(p\).
- Interpretar la variable \(X\) como número de éxitos en \(n\) ensayos.
Una situación puede modelarse con una distribución binomial cuando cumple estas condiciones:
- Se repite un mismo experimento un número fijo de veces.
- Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso.
- La probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo.
- Los ensayos son independientes.
Sus parámetros principales son:
- \(n\): número de ensayos.
- \(p\): probabilidad de éxito en cada ensayo.
- \(X\): número de éxitos obtenidos en los \(n\) ensayos.
En un modelo binomial no interesa tanto el orden en que ocurren los éxitos, sino cuántos éxitos se obtienen en total.
Por ejemplo, al lanzar 5 veces una moneda, nos puede interesar cuántas veces sale cara: 0, 1, 2, 3, 4 o 5.
Dos ensayos son independientes cuando el resultado de uno no cambia la probabilidad del siguiente.
Por ejemplo, al lanzar una moneda varias veces, que en un lanzamiento salga cara no cambia la probabilidad de obtener cara en el siguiente lanzamiento.
No toda repetición de un experimento forma un modelo binomial. Si al repetir el experimento la probabilidad de éxito cambia, entonces no corresponde usar este modelo.
Eso puede ocurrir, por ejemplo, cuando se extraen objetos sin reposición desde una bolsa pequeña.
Resumen de parámetros
| Elemento | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| \(n\) | Número total de ensayos | Lanzar una moneda 6 veces \(\rightarrow n=6\) |
| \(p\) | Probabilidad de éxito en un ensayo | Éxito = cara \(\rightarrow p=\frac{1}{2}\) |
| \(1-p\) | Probabilidad de fracaso | \(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) |
| \(X\) | Número de éxitos | \(X\): cantidad de caras obtenidas |
Ejemplo guiado 1
Se lanza una moneda equilibrada 4 veces. Se define éxito como “obtener cara”.
Esta situación sí puede modelarse con una distribución binomial porque:
- hay un número fijo de ensayos: \(n=4\),
- en cada ensayo hay dos resultados posibles: cara o sello,
- la probabilidad de éxito es constante: \(p=\frac{1}{2}\),
- los lanzamientos son independientes.
La variable aleatoria puede definirse como:
\[ X=\text{número de caras obtenidas en 4 lanzamientos} \]
Entonces los posibles valores de \(X\) son:
\[ 0,1,2,3,4 \]
Ejemplo guiado 2
Una jugadora de básquetbol encesta un lanzamiento libre con probabilidad \(0{,}8\). Realiza 3 lanzamientos, considerando que cada uno es independiente.
Definimos éxito como “encestar”.
- \(n=3\)
- \(p=0{,}8\)
- \(1-p=0{,}2\)
La variable aleatoria es:
\[ X=\text{número de lanzamientos encestados} \]
Los posibles valores de \(X\) son \(0,1,2,3\).
Ejemplo guiado 3
En una bolsa hay 3 bolitas rojas y 2 azules. Se extraen 2 bolitas sin reposición. Se define éxito como “obtener una bolita roja”.
Aunque hay dos resultados posibles en cada extracción (roja o no roja), esta situación no es binomial si la extracción es sin reposición.
La razón es que la probabilidad cambia entre una extracción y otra.
Por ejemplo:
- al inicio, \(P(\text{roja})=\frac{3}{5}\),
- pero después de extraer una bolita, esa probabilidad puede cambiar.
Por eso no hay independencia entre ensayos.
Los modelos binomiales aparecen en encuestas, controles de calidad, diagnósticos médicos, deportes y sondeos. En todos esos casos interesa contar cuántas veces ocurre un resultado específico dentro de varios intentos.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se lanza una moneda equilibrada 6 veces y se define éxito como “obtener cara”.
- Indica el valor de \(n\).
- Indica el valor de \(p\).
- Describe la variable aleatoria \(X\).
a) \(n=6\)
b) \(p=\frac{1}{2}\)
c) \(X=\) número de caras obtenidas en 6 lanzamientos.
Ejercicio 2
Una ampolleta sale defectuosa con probabilidad \(0{,}03\). Se revisan 10 ampolletas, suponiendo ensayos independientes.
- ¿Cuál es el éxito?
- ¿Cuál es el valor de \(n\)?
- ¿Cuál es el valor de \(p\)?
a) Éxito: que una ampolleta sea defectuosa.
b) \(n=10\)
c) \(p=0{,}03\)
Ejercicio 3
Un estudiante responde 8 preguntas de verdadero o falso al azar. Se define éxito como “responder correctamente”.
- ¿Puede modelarse con una distribución binomial?
- ¿Cuál es el valor de \(p\)?
- ¿Qué representa \(X\)?
a) Sí, puede modelarse con una distribución binomial.
b) Como hay dos opciones y responde al azar, \(p=\frac{1}{2}\).
c) \(X=\) número de respuestas correctas en 8 preguntas.
Ejercicio 4
Se lanza un dado equilibrado 5 veces. Se define éxito como “obtener un número mayor que 4”.
- Calcula \(p\).
- Indica \(n\).
- Escribe los valores posibles de \(X\).
Los números mayores que 4 son 5 y 6, por lo tanto:
a) \[ p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
b) \(n=5\)
c) \(X\) puede tomar los valores \(0,1,2,3,4,5\).
Ejercicio 5
En una encuesta, cada persona puede responder “sí” o “no”. Se entrevista a 20 personas y se define éxito como “responder sí”. La probabilidad de responder sí es \(0{,}4\) para cada persona, de manera independiente.
- Indica \(n\).
- Indica \(p\).
- Explica qué representa \(X\).
a) \(n=20\)
b) \(p=0{,}4\)
c) \(X=\) número de personas que responden sí entre las 20 entrevistadas.
Ejercicio 6
En una caja hay 4 lápices rojos y 6 azules. Se extraen 3 lápices sin reposición. Se define éxito como “extraer un lápiz rojo”.
¿Corresponde a un modelo binomial? Justifica.
No corresponde a un modelo binomial.
La razón es que al extraer sin reposición cambia la composición de la caja, por lo que también cambia la probabilidad de éxito entre una extracción y otra. No hay independencia.
Ejercicio 7
Un arquero ataja un penal con probabilidad \(0{,}25\). En una práctica enfrenta 4 penales independientes.
- ¿Cuál es el éxito?
- ¿Cuál es \(n\)?
- ¿Cuál es \(p\)?
- ¿Qué representa \(X\)?
a) Éxito: atajar un penal.
b) \(n=4\)
c) \(p=0{,}25\)
d) \(X=\) número de penales atajados en la práctica.
Ejercicio 8
Para cierto test rápido, la probabilidad de que una persona obtenga resultado positivo es \(0{,}12\). Se aplica el test a 15 personas, considerando independencia.
- Indica el valor de \(n\).
- Indica el valor de \(p\).
- Indica el valor de \(1-p\).
- Describe la variable aleatoria \(X\).
a) \(n=15\)
b) \(p=0{,}12\)
c) \[ 1-p=1-0{,}12=0{,}88 \]
d) \(X=\) número de personas que obtienen resultado positivo entre las 15 evaluadas.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Se lanza una moneda equilibrada 7 veces y se define \(X\) como el número de veces que sale cara. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- \(n=\frac{1}{2}\) y \(p=7\)
- \(n=7\) y \(p=\frac{1}{2}\)
- \(n=2\) y \(p=7\)
- \(n=7\) y \(p=1\)
En 7 lanzamientos:
- el número de ensayos es \(n=7\),
- la probabilidad de éxito “obtener cara” es \(p=\frac{1}{2}\).
Alternativa correcta: b
PAES 2
¿Cuál de las siguientes situaciones no puede modelarse binomialmente?
- Lanzar un dado 10 veces y registrar cuántas veces sale 6.
- Aplicar una encuesta a 12 personas y contar cuántas responden sí.
- Extraer 4 bolitas de una urna sin reposición y contar cuántas son rojas.
- Lanzar una moneda 8 veces y contar cuántas veces sale sello.
La situación que no puede modelarse binomialmente es la extracción sin reposición, porque cambia la probabilidad de éxito entre ensayos.
Alternativa correcta: c
PAES 3
Una variable aleatoria binomial \(X\) representa el número de éxitos en 9 ensayos independientes, con probabilidad de éxito \(0{,}3\). ¿Qué representa el valor 9?
- La probabilidad de fracaso
- El número de éxitos
- El número de ensayos
- La probabilidad de éxito
En una distribución binomial, el número 9 corresponde a \(n\), es decir, al número de ensayos.
Alternativa correcta: c
PAES 4
En cierto experimento binomial, la probabilidad de éxito es \(0{,}65\). Entonces, la probabilidad de fracaso es:
- \(0{,}35\)
- \(0{,}65\)
- \(1{,}65\)
- \(0\)
\[ P(\text{fracaso})=1-0{,}65=0{,}35 \]
Alternativa correcta: a
Cierre
En esta página aprendimos que el modelo binomial se usa cuando un mismo experimento se repite bajo condiciones estables: dos resultados posibles, igual probabilidad de éxito e independencia entre ensayos.
En la próxima página avanzaremos al cálculo de probabilidades binomiales en casos simples, es decir, comenzaremos a responder preguntas como: “¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 éxitos?”
- \(n\) indica cuántas veces se repite el experimento.
- \(p\) indica la probabilidad de éxito en cada ensayo.
- \(X\) cuenta cuántos éxitos se obtienen.
- Si no hay independencia, no corresponde usar modelo binomial.