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La Función Exponencial

3. Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 1)

Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 1)

Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 1)

¿Qué es Modelar?

Modelar matemáticamente una situación significa encontrar una función (en este caso, una función exponencial) que *represente* el comportamiento de esa situación. El modelo nos permite entenderla mejor, hacer predicciones y tomar decisiones.

Pasos para Modelar con Funciones Exponenciales

  1. Leer y comprender el problema.
  2. Identificar las variables:
    • Variable independiente (x): Generalmente el tiempo.
    • Variable dependiente (f(x) o y): La cantidad que crece o decrece.
  3. Identificar los parámetros: \( f(x) = a \cdot b^x \)
    • *a*: Valor inicial (cuando x = 0).
    • *b*: Base (factor de crecimiento/decrecimiento).
      • Crecimiento del r%: b = 1 + r/100
      • Decrecimiento del r%: b = 1 - r/100
  4. Escribir la ecuación de la función exponencial.
  5. Usar el modelo para hacer predicciones (evaluar la función).
  6. Interpretar los resultados en el contexto del problema.

Ejemplo Resuelto Paso a Paso

Problema: Una población de bacterias se duplica cada 3 horas. Inicialmente, hay 500 bacterias.

       
  1. Variables:        
                 
    • x: Tiempo (en horas)
      •            
    • f(x): Número de bacterias
      •        
       
    2.    
  2. Parámetros:        
                 
    • a = 500 (valor inicial)
      •            
    • b = 2 (se duplica, entonces el factor de crecimiento es 2)
      •        
    • El tiempo esta en horas, y como el factor de crecimiento es por cada 3 horas, el exponente sera \( \frac{x}{3} \)
      •        
       
    3.    
  3. Ecuación:  \( f(x) = 500 \cdot 2^{\frac{x}{3}} \)
    4.    
  4. Predicción: ¿Cuántas bacterias habrá después de 12 horas?        
             
    • \( f(12) = 500 \cdot 2^{\frac{12}{3}} = 500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16 = 8000 \)
      •        
       
    5.    
  5. Interpretación: Después de 12 horas, habrá 8000 bacterias.

Ejercicios

Ejercicio 1: Una inversión de $2000 crece a una tasa de interés compuesto del 4% anual. Encuentra la función exponencial que modela el valor de la inversión.

Ejercicio 2: Un auto nuevo que vale $25000 se deprecia a una tasa del 15% anual. Encuentra la función que modela el valor del auto después de *x* años.

Ejercicio 3: Una población de aves tiene 500 individuos inicialmente y crece un 8% cada año. Encuentra la función que modela la población después de *x* años.

Ejercicio 4: Una sustancia radiactiva se reduce a la mitad cada 100 años. Si inicialmente hay 80 gramos, encuentra la función que modela la cantidad restante después de *x* años.

Ejercicio 5: Una población de conejos se duplica cada mes. Inicialmente hay 20 conejos. ¿Cuántos conejos habrá después de 6 meses?

Ejercicio 6: Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa del 25% por hora. Si la dosis inicial es de 500 mg, ¿cuántos mg quedarán después de 4 horas?

Ejercicio 7: El valor de una máquina se deprecia exponencialmente. Su valor inicial es de $12,000 y después de 3 años es de $9,000. ¿Cuál es la base (b) de la función exponencial que modela esta situación?

Problemas

Problema 1: Una ciudad tiene una población inicial de 100,000 habitantes y crece a una tasa del 3% anual.

  1. Encuentra la función exponencial que modela la población después de *x* años.
  2. ¿Cuál será la población aproximada después de 5 años?
  3. ¿Y después de 10 años?

Problema 2: Se invierten $5000 en una cuenta que paga un interés compuesto del 6% anual. Si no se hacen retiros ni depósitos adicionales, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 7 años?

Problema 3: La cantidad de un fármaco en el torrente sanguíneo disminuye exponencialmente. Se administra una dosis de 400 mg. Después de 6 horas, quedan 200 mg.

  1. Encuentra la función exponencial que modela la cantidad de fármaco restante en función del tiempo (en horas).
  2. ¿Cuántos mg quedarán después de 12 horas?
  3. ¿Y después de 18 horas?

Problema 4: Un bosque tenía 10,000 árboles en el año 2000. Debido a la tala ilegal, la cantidad de árboles disminuye un 4% cada año.

  1. Encuentra la función exponencial que modela la cantidad de árboles en función del tiempo (en años, desde el año 2000).
  2. ¿Cuántos árboles quedarán, aproximadamente, en el año 2025?

Problema 5: Una población de aves migratorias disminuye a un ritmo exponencial. En el año 2010, había 8000 aves. En el año 2020, había 5000 aves.

  1. Encuentra la función exponencial que modela la población de aves en función del tiempo (en años, desde el año 2010).
  2. ¿Cuál es la tasa de decrecimiento *anual* de la población (en porcentaje)?
  3. ¿Cuál será la población aproximada en el año 2030?

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