Estadistica
11. Evaluación de unidad y retroalimentación
Evaluación de unidad y retroalimentación
En esta página cerrarás la unidad con una evaluación que integra los principales contenidos trabajados:
- Modelo binomial
- Tablas de frecuencias, histogramas y gráfico poligonal
- Distribución normal e interpretación usando desviación estándar dada
Antes de comenzar, revisa este repaso muy breve.
Repaso muy breve
| Tema | Idea clave | Qué debes recordar |
|---|---|---|
| Modelo binomial | Cuenta éxitos en varios ensayos | Dos resultados posibles, ensayos independientes, misma probabilidad de éxito |
| Tablas e histogramas | Organizan y muestran la distribución de datos | El histograma usa intervalos y sus barras van pegadas |
| Gráfico poligonal | Muestra la forma general de la distribución | Se construye usando las marcas de clase |
| Distribución normal | Tiene forma aproximadamente acampanada | \(\mu\) es el centro y \(\sigma\) indica la dispersión |
En esta evaluación conviene leer con calma qué representa la variable en cada problema. Muchas veces el error no está en el cálculo, sino en interpretar mal qué significa el éxito, el intervalo o la distancia a la media.
- Confundir “exactamente” con “al menos”.
- Olvidar que en el histograma las barras van pegadas.
- Confundir media con desviación estándar.
Ejercicios de desarrollo
Ejercicio 1
Se lanza un dado equilibrado 5 veces. Se define éxito como “obtener un número par” y \(X\) representa la cantidad de éxitos.
- Explica por qué esta situación puede modelarse con una distribución binomial.
- Indica los parámetros \(n\) y \(p\).
a) Sí puede modelarse con una distribución binomial porque hay un número fijo de ensayos (\(5\) lanzamientos), en cada lanzamiento hay dos resultados respecto del evento definido (éxito: obtener número par; fracaso: obtener número impar), los ensayos son independientes y la probabilidad de éxito se mantiene constante.
b) Como hay 5 lanzamientos, se tiene:
\[ n=5 \]
Los números pares del dado son 2, 4 y 6, por lo tanto:
\[ p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 2
Un arquero tiene probabilidad \(0{,}7\) de atajar un penal. Se lanzan 3 penales y \(X\) representa la cantidad de penales atajados.
- Calcula \(P(X=2)\).
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}(0{,}7)^2(0{,}3) \]
\[ P(X=2)=3\cdot 0{,}49 \cdot 0{,}3=0{,}441 \]
b) Hay un 44,1% de probabilidad de que el arquero ataje exactamente 2 de los 3 penales.
Ejercicio 3
En una encuesta, cada persona tiene probabilidad \(0{,}7\) de responder “sí”. Se encuesta a 4 personas y \(X\) representa la cantidad de respuestas “sí”.
- Calcula \(P(X=4)\).
- Calcula \(P(X=3)\).
- Indica cuál de los dos eventos es más probable e interprétalo en contexto.
a)
\[ P(X=4)=(0{,}7)^4=0{,}2401 \]
b)
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}(0{,}7)^3(0{,}3) \]
\[ P(X=3)=4\cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3=0{,}4116 \]
c) Es más probable obtener exactamente 3 respuestas “sí” que obtener 4 respuestas “sí”.
En este contexto, aunque la respuesta “sí” es bastante probable, sigue siendo más esperable que aparezca al menos una respuesta distinta antes que unanimidad total.
Ejercicio 4
Los siguientes datos representan la cantidad de libros leídos por 15 estudiantes en un mes:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 3,\ 2,\ 2,\ 4,\ 1,\ 0,\ 2,\ 3,\ 1,\ 2,\ 4 \]
- Construye una tabla de frecuencias absolutas.
- Agrega la frecuencia relativa de cada valor.
| Libros leídos | Frecuencia absoluta | Frecuencia relativa |
|---|---|---|
| 0 | 2 | \(\frac{2}{15}\) |
| 1 | 4 | \(\frac{4}{15}\) |
| 2 | 5 | \(\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\) |
| 3 | 2 | \(\frac{2}{15}\) |
| 4 | 2 | \(\frac{2}{15}\) |
Ejercicio 5
Los tiempos de traslado de un grupo de estudiantes se agruparon en la siguiente tabla:
| Intervalo (min) | Frecuencia |
|---|---|
| 0 a 10 | 2 |
| 10 a 20 | 5 |
| 20 a 30 | 7 |
| 30 a 40 | 4 |
| 40 a 50 | 2 |
- Construye el histograma correspondiente.
- Indica cuál es el intervalo modal.
- Redacta una conclusión breve en contexto.
a) El histograma debe tener 5 barras pegadas, con alturas 2, 5, 7, 4 y 2.
b) El intervalo modal es 20 a 30, porque tiene la mayor frecuencia.
c) La mayor concentración de estudiantes tarda entre 20 y 30 minutos en llegar.
Ejercicio 6
Usando la misma tabla del ejercicio anterior:
- Determina las marcas de clase de cada intervalo.
- Indica los puntos que se usarían para construir el gráfico poligonal.
- Redacta dos conclusiones breves a partir del gráfico.
a) Las marcas de clase son:
- \(\frac{0+10}{2}=5\)
- \(\frac{10+20}{2}=15\)
- \(\frac{20+30}{2}=25\)
- \(\frac{30+40}{2}=35\)
- \(\frac{40+50}{2}=45\)
b) Los puntos son:
\[ (5,2),\ (15,5),\ (25,7),\ (35,4),\ (45,2) \]
c) Dos conclusiones posibles son:
- La distribución aumenta hasta el intervalo central y luego disminuye.
- Los tiempos extremos son menos frecuentes que los tiempos intermedios.
Ejercicio 7
Las estaturas de un grupo siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 170 \text{ cm}, \qquad \sigma = 6 \text{ cm} \]
- Calcula el intervalo \(\mu \pm \sigma\).
- Calcula el intervalo \(\mu \pm 2\sigma\).
- Interpreta ambos intervalos.
a)
\[ 170-6=164,\qquad 170+6=176 \]
Entonces:
\[ \mu \pm \sigma = [164,176] \]
b)
\[ 170-2\cdot 6=158,\qquad 170+2\cdot 6=182 \]
Entonces:
\[ \mu \pm 2\sigma = [158,182] \]
c) El intervalo \([164,176]\) corresponde a valores cercanos al centro, por lo que reúne estaturas relativamente habituales. El intervalo \([158,182]\) es más amplio e incluye valores más alejados, aunque todavía razonables dentro de la distribución.
Ejercicio 8
Los puntajes de una prueba siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 500, \qquad \sigma = 40 \]
- ¿Cuál es más habitual: 540 o 620? Justifica.
- Compara los puntajes 460 y 540.
- Interpreta el puntaje 620 en términos de desviaciones estándar.
a)
\[ |540-500|=40 \]
\[ |620-500|=120 \]
Como 540 está más cerca de la media, es más habitual que 620.
b)
\[ |460-500|=40,\qquad |540-500|=40 \]
Tienen una interpretación parecida, porque ambos están a la misma distancia de la media: 1 desviación estándar.
c)
\[ 620-500=120=3\cdot 40 \]
El puntaje 620 está a 3 desviaciones estándar sobre la media, por lo que se interpreta como un valor muy poco habitual dentro de esta distribución.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes situaciones puede modelarse mejor con una distribución binomial?
- Registrar la temperatura cada hora durante un día.
- Lanzar una moneda 6 veces y contar cuántas veces sale cara.
- Medir la estatura de 20 estudiantes.
- Anotar el tiempo de traslado de una persona al colegio.
La situación binomial es la de lanzar una moneda 6 veces y contar éxitos.
Alternativa correcta: b
PAES 2
Se lanza un dado equilibrado 4 veces. Se define éxito como “obtener un número par”. ¿Cuáles son los parámetros del modelo binomial?
- \(n=4\), \(p=\frac{1}{2}\)
- \(n=6\), \(p=\frac{1}{4}\)
- \(n=4\), \(p=\frac{1}{3}\)
- \(n=2\), \(p=\frac{1}{2}\)
Hay 4 lanzamientos, por lo tanto \(n=4\). Los números pares son 2, 4 y 6, así que:
\[ p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Alternativa correcta: a
PAES 3
Se lanza una moneda equilibrada 2 veces y \(X\) representa la cantidad de caras obtenidas. ¿Cuál es el valor de \(P(X=0)\)?
- \(\frac{1}{2}\)
- \(\frac{1}{4}\)
- \(\frac{3}{4}\)
- \(\frac{2}{4}\)
\[ P(X=0)=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4} \]
Alternativa correcta: b
PAES 4
Una máquina produce piezas buenas con probabilidad \(0{,}9\). Se observan 3 piezas y \(X\) representa la cantidad de piezas buenas. ¿Cuál es \(P(X=2)\)?
- \(0{,}027\)
- \(0{,}243\)
- \(0{,}729\)
- \(0{,}300\)
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}(0{,}9)^2(0{,}1) \]
\[ P(X=2)=3\cdot 0{,}81\cdot 0{,}1=0{,}243 \]
Alternativa correcta: b
PAES 5
En una encuesta, cada persona tiene probabilidad \(0{,}6\) de responder “sí”. Se encuesta a 4 personas. ¿Cuál evento es más probable?
- Exactamente 4 respuestas “sí”
- Exactamente 3 respuestas “sí”
- Exactamente 0 respuestas “sí”
- Todos tienen la misma probabilidad
\[ P(X=4)=(0{,}6)^4=0{,}1296 \]
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}(0{,}6)^3(0{,}4)=4\cdot 0{,}216\cdot 0{,}4=0{,}3456 \]
El evento más probable es obtener exactamente 3 respuestas “sí”.
Alternativa correcta: b
PAES 6
Si en una situación binomial se obtiene \(P(X=2)=0{,}35\), ¿cuál es la mejor interpretación?
- Siempre ocurren 2 éxitos.
- Es imposible obtener 2 éxitos.
- Hay un 35% de probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos.
- La probabilidad de éxito individual es 2.
\(P(X=2)\) se interpreta como la probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos.
Alternativa correcta: c
PAES 7
En una tabla de frecuencias relativas, la suma de todas las frecuencias relativas debe ser:
- 0
- 1
- La frecuencia mayor
- El número de intervalos
La suma de todas las frecuencias relativas es 1.
Alternativa correcta: b
PAES 8
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente un histograma?
- Sus barras representan categorías separadas y por eso van con espacio.
- Sus barras representan intervalos numéricos y por eso van pegadas.
- Siempre se construye uniendo puntos con segmentos.
- Solo puede usarse con datos cualitativos.
En el histograma las barras representan intervalos y van pegadas.
Alternativa correcta: b
PAES 9
Si un intervalo va de 12 a 18, ¿cuál es su marca de clase?
- 6
- 12
- 15
- 18
\[ \frac{12+18}{2}=15 \]
Alternativa correcta: c
PAES 10
Una tabla presenta las siguientes frecuencias:
| Intervalo | Frecuencia |
|---|---|
| 0 a 10 | 2 |
| 10 a 20 | 6 |
| 20 a 30 | 8 |
| 30 a 40 | 4 |
¿Cuál es el intervalo modal?
- 0 a 10
- 10 a 20
- 20 a 30
- 30 a 40
La mayor frecuencia es 8, por lo tanto el intervalo modal es 20 a 30.
Alternativa correcta: c
PAES 11
Si un gráfico poligonal sube hasta un punto central y luego baja, ¿qué sugiere eso sobre la distribución?
- Que la mayor concentración está en una zona intermedia.
- Que todos los intervalos tienen la misma frecuencia.
- Que solo existen datos extremos.
- Que no hay ningún intervalo modal.
Ese comportamiento sugiere que los datos se concentran más en una zona intermedia.
Alternativa correcta: a
PAES 12
En una distribución normal, la media \(\mu\) representa principalmente:
- La dispersión de los datos.
- La cantidad de datos del grupo.
- El centro de la distribución.
- La amplitud de los intervalos.
La media representa el centro de la distribución.
Alternativa correcta: c
PAES 13
En una distribución normal, la desviación estándar \(\sigma\) permite describir:
- La dispersión de los datos respecto de la media.
- El nombre del experimento.
- La frecuencia absoluta mayor.
- La cantidad de categorías.
La desviación estándar describe la dispersión de los datos respecto de la media.
Alternativa correcta: a
PAES 14
Si una distribución normal tiene \(\mu=80\) y \(\sigma=6\), entonces el intervalo \(\mu \pm \sigma\) es:
- \([68,92]\)
- \([74,86]\)
- \([76,84]\)
- \([72,88]\)
\[ 80-6=74,\qquad 80+6=86 \]
Alternativa correcta: b
PAES 15
En una distribución normal con \(\mu=100\) y \(\sigma=10\), ¿cuál de los siguientes valores sería más habitual?
- 82
- 95
- 120
- 130
El valor más cercano a la media 100 es 95.
Alternativa correcta: b
PAES 16
En una distribución aproximadamente normal con \(\mu=450\) y \(\sigma=30\), ¿qué se puede decir de los puntajes 420 y 480?
- 420 es más habitual.
- 480 es más habitual.
- Tienen una interpretación parecida, porque están a la misma distancia de la media.
- Ambos son imposibles.
\[ |420-450|=30,\qquad |480-450|=30 \]
Ambos están a 1 desviación estándar de la media, así que tienen una interpretación parecida.
Alternativa correcta: c
Retroalimentación general de la unidad
Revisa primero si la situación realmente tiene dos resultados posibles respecto del evento definido, si los ensayos son independientes y si la probabilidad de éxito se mantiene constante. Después fíjate bien si te piden “exactamente”, “al menos” o “a lo más”.
Vuelve a distinguir qué aporta cada representación: la tabla ordena, el histograma muestra concentración en intervalos y el gráfico poligonal permite ver la forma general. No olvides que las marcas de clase son los puntos medios de los intervalos.
Recuerda que \(\mu\) indica el centro y \(\sigma\) la dispersión. Un valor cercano a la media suele ser más habitual que uno muy alejado. Estar a varias desviaciones estándar de la media no significa ser imposible, sino menos frecuente.
En esta unidad trabajaste con tres ideas importantes: contar probabilidades en situaciones de éxito y fracaso, organizar datos para leer su distribución y comenzar a interpretar valores usando media y desviación estándar en el modelo normal.