economia basica
3. Tasa de variación y lectura de tasas en contexto
Tasa de variación y lectura de tasas en contexto
En la página anterior estudiamos situaciones en que una cantidad cambia por un mismo porcentaje en cada período. Ahora daremos un paso más: aprenderemos a calcular e interpretar la tasa de variación.
La tasa de variación permite describir cómo cambia una cantidad respecto de su valor inicial. En matemática financiera aparece al analizar aumentos de precios, descuentos, crecimiento de un ahorro, disminución del valor de un bien o variaciones de ingresos.
Por eso, no basta con saber que una cantidad cambió: también importa saber cuánto cambió en relación con el valor de partida.
Objetivo de la página
- Comprender qué representa una tasa de variación.
- Calcular tasas de variación en aumentos y disminuciones.
- Interpretar tasas positivas y negativas en contexto.
- Relacionar tasa de variación, porcentaje y multiplicador.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular la tasa de variación entre un valor inicial y uno final.
- Expresar una tasa en forma decimal y porcentual.
- Interpretar si una tasa representa crecimiento o decrecimiento.
- Leer tasas en problemas de precios, ahorro, sueldos y otros contextos financieros.
Si una cantidad pasa de un valor inicial \(V_i\) a un valor final \(V_f\), la tasa de variación se calcula como:
\[ \text{tasa de variación}=\frac{V_f-V_i}{V_i} \]
Si se quiere expresar como porcentaje, se multiplica por 100:
\[ \text{tasa porcentual}=\frac{V_f-V_i}{V_i}\cdot 100\% \]
Si conocemos la tasa \(r\) en forma decimal, entonces:
\[ V_f=V_i(1+r) \]
Por eso:
- si \(r>0\), hay crecimiento;
- si \(r<0\), hay decrecimiento.
Además, el multiplicador es:
\[ 1+r \]
La tasa de variación compara el cambio con el valor inicial, no con el valor final. Por eso siempre debes fijarte bien desde qué cantidad estás partiendo.
Confundir el cambio absoluto con la tasa de variación. Por ejemplo, pasar de \$50.000 a \$55.000 significa un cambio de \$5.000, pero la tasa de variación no es 5.000: es \(\frac{5.000}{50.000}=0{,}10\), es decir, 10%.
Resumen de interpretación
| Situación | Tasa decimal | Tasa porcentual | Interpretación |
|---|---|---|---|
| Sube de 100 a 110 | 0,10 | 10% | Crecimiento de 10% |
| Baja de 100 a 90 | -0,10 | -10% | Disminución de 10% |
| Sube de 200 a 250 | 0,25 | 25% | Crecimiento de 25% |
| Baja de 80 a 60 | -0,25 | -25% | Disminución de 25% |
Ejemplo guiado 1: aumento en contexto
El precio de un producto cambia de \$40.000 a \$46.000.
Primero calculamos el cambio:
\[ 46.000-40.000=6.000 \]
Luego dividimos por el valor inicial:
\[ \frac{6.000}{40.000}=0{,}15 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}15=15\% \]
La tasa de variación es 15%. Esto significa que el precio aumentó un 15% respecto del valor inicial.
Ejemplo guiado 2: disminución en contexto
El valor de una bicicleta baja de \$120.000 a \$96.000.
Calculamos el cambio:
\[ 96.000-120.000=-24.000 \]
Luego:
\[ \frac{-24.000}{120.000}=-0{,}20 \]
Como porcentaje:
\[ -0{,}20=-20\% \]
La tasa de variación es -20%. Esto significa que el valor de la bicicleta disminuyó un 20%.
Ejemplo guiado 3: relacionar tasa y multiplicador
Un capital aumenta de \$80.000 a \$92.000.
La tasa de variación es:
\[ \frac{92.000-80.000}{80.000}=\frac{12.000}{80.000}=0{,}15 \]
Entonces la tasa porcentual es 15%.
El multiplicador asociado es:
\[ 1+0{,}15=1{,}15 \]
Y efectivamente:
\[ 80.000\cdot 1{,}15=92.000 \]
Así, una tasa de variación de 15% corresponde a multiplicar por 1,15.
Una tasa positiva indica crecimiento respecto del valor inicial. Una tasa negativa indica disminución. El signo importa mucho: \(12\%\) y \(-12\%\) no describen la misma situación.
Las tasas de variación se usan para describir inflación, reajustes salariales, variación del precio del dólar, crecimiento de un ahorro, disminución del valor de un auto o cambios en cuotas y costos financieros.
Ejercicios
Ejercicio 1
Calcula la tasa de variación y exprésala como porcentaje:
- De \$50.000 a \$55.000
- De 80 a 92
- De 200 a 250
a)
\[ \frac{55.000-50.000}{50.000}=\frac{5.000}{50.000}=0{,}10 \]
Tasa: 10%.
b)
\[ \frac{92-80}{80}=\frac{12}{80}=0{,}15 \]
Tasa: 15%.
c)
\[ \frac{250-200}{200}=\frac{50}{200}=0{,}25 \]
Tasa: 25%.
Ejercicio 2
Calcula la tasa de variación y exprésala como porcentaje:
- De \$90.000 a \$81.000
- De 120 a 102
- De 500 a 450
a)
\[ \frac{81.000-90.000}{90.000}=\frac{-9.000}{90.000}=-0{,}10 \]
Tasa: -10%.
b)
\[ \frac{102-120}{120}=\frac{-18}{120}=-0{,}15 \]
Tasa: -15%.
c)
\[ \frac{450-500}{500}=\frac{-50}{500}=-0{,}10 \]
Tasa: -10%.
Ejercicio 3
Un sueldo sube de \$750.000 a \$810.000.
- Calcula la variación absoluta.
- Calcula la tasa de variación.
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ 810.000-750.000=60.000 \]
b)
\[ \frac{60.000}{750.000}=0{,}08 \]
La tasa es 8%.
c) El sueldo aumentó en \$60.000, lo que corresponde a un 8% respecto del sueldo inicial.
Ejercicio 4
El valor de un computador baja de \$600.000 a \$510.000.
- Calcula la variación absoluta.
- Calcula la tasa de variación.
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ 510.000-600.000=-90.000 \]
b)
\[ \frac{-90.000}{600.000}=-0{,}15 \]
La tasa es -15%.
c) El computador disminuyó su valor en \$90.000, lo que corresponde a una baja de 15% respecto del valor inicial.
Ejercicio 5
Completa la siguiente tabla:
| Valor inicial | Valor final | Tasa decimal | Tasa porcentual |
|---|---|---|---|
| 100 | 120 | ? | ? |
| 200 | 150 | ? | ? |
| \$40.000 | \$44.000 | ? | ? |
| \$80.000 | \$68.000 | ? | ? |
| Valor inicial | Valor final | Tasa decimal | Tasa porcentual |
|---|---|---|---|
| 100 | 120 | 0,20 | 20% |
| 200 | 150 | -0,25 | -25% |
| \$40.000 | \$44.000 | 0,10 | 10% |
| \$80.000 | \$68.000 | -0,15 | -15% |
Ejercicio 6
Relaciona cada tasa con su multiplicador:
- \(r=0{,}12\)
- \(r=-0{,}08\)
- \(r=0{,}25\)
- \(r=-0{,}30\)
Escribe el multiplicador en cada caso.
Como el multiplicador es \(1+r\):
a) \(1+0{,}12=1{,}12\)
b) \(1-0{,}08=0{,}92\)
c) \(1+0{,}25=1{,}25\)
d) \(1-0{,}30=0{,}70\)
Ejercicio 7
Una inversión se modela por:
\[ C_1 = C_0(1{,}06) \]
- ¿Cuál es la tasa de variación?
- ¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento?
- Interpreta esa tasa en contexto.
a) Como el multiplicador es \(1{,}06\), la tasa es:
\[ r=1{,}06-1=0{,}06 \]
Es decir, 6%.
b) Corresponde a crecimiento.
c) Significa que el capital aumenta un 6% respecto del valor inicial del período considerado.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si la tasa de variación es \(-0{,}12\), entonces la cantidad disminuyó 0,12 unidades”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
La tasa \(-0{,}12\) no representa una disminución de 0,12 unidades, sino una disminución de 12% respecto del valor inicial.
La tasa de variación es una medida relativa, no un cambio absoluto.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Una cantidad cambia de 80 a 100. ¿Cuál es su tasa de variación porcentual?
- 20%
- 25%
- 15%
- 80%
\[ \frac{100-80}{80}=\frac{20}{80}=0{,}25 \]
La tasa es 25%.
Alternativa correcta: b
PAES 2
Un precio baja de \$50.000 a \$45.000. ¿Cuál es la tasa de variación porcentual?
- -5%
- -10%
- 10%
- 5%
\[ \frac{45.000-50.000}{50.000}=\frac{-5.000}{50.000}=-0{,}10 \]
La tasa es -10%.
Alternativa correcta: b
PAES 3
Si una cantidad tiene tasa de variación \(r=0{,}08\), ¿cuál es el multiplicador asociado?
- 0,08
- 0,92
- 1,08
- 1,80
\[ 1+r=1+0{,}08=1{,}08 \]
Alternativa correcta: c
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- Una tasa negativa indica crecimiento.
- La tasa de variación se calcula dividiendo por el valor final.
- Una tasa de 15% significa que la cantidad cambió en relación con el valor inicial.
- La tasa de variación y la variación absoluta siempre coinciden.
La afirmación correcta es la c.
Alternativa correcta: c
Cierre
En esta página aprendimos a calcular e interpretar tasas de variación. Vimos que una tasa permite describir un cambio en relación con el valor inicial, y que puede expresarse en forma decimal, porcentual o mediante un multiplicador.
Esta idea será muy importante en las próximas páginas, porque servirá para entender mejor el interés aplicado al ahorro y el interés aplicado al crédito.
- La tasa de variación compara el cambio con el valor inicial.
- Una tasa positiva indica crecimiento.
- Una tasa negativa indica disminución.
- El multiplicador asociado es \(1+r\).