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8. Evaluación de unidad y análisis de errores
Evaluación de unidad y análisis de errores
En esta página cerrarás la unidad de matemática financiera con una evaluación que integra los contenidos trabajados:
- Porcentaje como operador
- Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
- Tasa de variación
- Interés aplicado al ahorro
- Interés aplicado al crédito
- Lectura de cuotas, costo total y comparación de alternativas
- Índices económicos usados en Chile: UF, UTM e IPC
Antes de comenzar, revisa este repaso muy breve.
Repaso muy breve
| Tema | Idea clave | Qué debes recordar |
|---|---|---|
| Porcentaje | Actúa como operador | Aplicar \(p\%\) equivale a multiplicar por \(\frac{p}{100}\) |
| Aumentos y descuentos | Se usan multiplicadores | Aumento: \(1+\frac{p}{100}\); descuento: \(1-\frac{p}{100}\) |
| Crecimiento constante | Es multiplicativo | Después de \(n\) períodos: \(C_0(1+r)^n\) |
| Tasa de variación | Compara con el valor inicial | \(\frac{V_f-V_i}{V_i}\) |
| Ahorro y crédito | No significan lo mismo | En ahorro la tasa favorece el capital; en crédito aumenta el costo |
| Cuotas y costo total | No basta mirar la cuota | También hay que comparar el total pagado |
| UF, UTM, IPC | Son referencias distintas | UF y UTM se convierten a pesos con un valor dado; IPC se interpreta como variación general de precios |
En esta evaluación conviene leer con calma qué representa cada dato: porcentaje, tasa, cuota, valor al contado o unidad económica. Muchas veces el error no está en el cálculo, sino en interpretar mal qué te están pidiendo comparar.
- Sumar porcentajes cuando corresponde multiplicar varias veces por un factor.
- Confundir interés con monto final o total a pagar.
- Fijarse solo en la cuota y no en el costo total.
- Olvidar que UF y UTM no son pesos directos.
Ejercicios de desarrollo
Ejercicio 1
Un producto cuesta \$250.000 y tiene un 18% de descuento.
- Calcula el valor del descuento.
- Calcula el precio final.
- Verifica usando el multiplicador correspondiente.
a)
\[ 0{,}18\cdot 250.000 = 45.000 \]
El descuento es de \$45.000.
b)
\[ 250.000 - 45.000 = 205.000 \]
El precio final es \$205.000.
c) El multiplicador de descuento es:
\[ 1-0{,}18 = 0{,}82 \]
\[ 250.000\cdot 0{,}82 = 205.000 \]
Ejercicio 2
Una inversión inicial de \$120.000 crece un 6% mensual durante 3 meses.
- Escribe la expresión que modela la situación.
- Calcula el monto final.
- Calcula el aumento total respecto del capital inicial.
a)
\[ M_3=120.000(1{,}06)^3 \]
b)
\[ (1{,}06)^3 = 1{,}191016 \]
\[ M_3=120.000\cdot 1{,}191016 = 142.921{,}92 \]
El monto final es aproximadamente \$142.922.
c)
\[ 142.921{,}92 - 120.000 = 22.921{,}92 \]
El aumento total es aproximadamente \$22.922.
Ejercicio 3
El valor de un equipo baja de \$480.000 a \$408.000.
- Calcula la variación absoluta.
- Calcula la tasa de variación.
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ 408.000 - 480.000 = -72.000 \]
b)
\[ \frac{408.000 - 480.000}{480.000}=\frac{-72.000}{480.000}=-0{,}15 \]
La tasa de variación es -15%.
c) El equipo disminuyó su valor en \$72.000, lo que equivale a una baja de 15% respecto del valor inicial.
Ejercicio 4
Una persona deposita \$300.000 en una cuenta de ahorro que paga 4% mensual durante 2 meses.
- Calcula el monto final.
- Calcula el interés total ganado.
- Explica qué significa el resultado en contexto.
a)
\[ M_2=300.000(1{,}04)^2 \]
\[ M_2=300.000\cdot 1{,}0816 = 324.480 \]
El monto final es \$324.480.
b)
\[ 324.480 - 300.000 = 24.480 \]
El interés total ganado es \$24.480.
c) Esto significa que, al dejar ese dinero ahorrado durante 2 meses a esa tasa, la persona aumenta su capital y gana \$24.480 por concepto de interés.
Ejercicio 5
Una persona pide un crédito de \$250.000 con una tasa de 5% mensual durante 2 meses, sin pago intermedio.
- Calcula la deuda final.
- Calcula el interés total acumulado.
- Explica por qué esta situación no se interpreta igual que un ahorro.
a)
\[ D_2=250.000(1{,}05)^2 \]
\[ D_2=250.000\cdot 1{,}1025 = 275.625 \]
La deuda final es \$275.625.
b)
\[ 275.625 - 250.000 = 25.625 \]
El interés total acumulado es \$25.625.
c) En un ahorro, el interés representa una ganancia para quien deposita dinero. En un crédito, el interés representa un costo, porque hace que la deuda crezca y que la persona deba devolver más de lo que recibió al inicio.
Ejercicio 6
Una tienda ofrece un refrigerador con estas opciones:
| Alternativa | Condición |
|---|---|
| A | \$360.000 al contado |
| B | 12 cuotas de \$33.000 |
| C | Pago inicial de \$40.000 y 8 cuotas de \$41.000 |
- Calcula el costo total de B y C.
- Ordénalas desde la de menor a la de mayor costo total.
- Indica cuál tiene la cuota más baja.
- Redacta una conclusión comparativa.
a)
Alternativa B:
\[ 12\cdot 33.000 = 396.000 \]
Alternativa C:
\[ 40.000 + 8\cdot 41.000 \]
\[ 40.000 + 328.000 = 368.000 \]
b) De menor a mayor costo total:
- A: \$360.000
- C: \$368.000
- B: \$396.000
c) La cuota más baja es la de la alternativa B: \$33.000.
d) Si el criterio es pagar menos en total, conviene la alternativa A. Si no se puede pagar al contado, la alternativa C cuesta menos que la B, aunque la B tenga la cuota mensual más baja.
Ejercicio 7
En un ejercicio se indica que:
\[ 1\ \text{UF} = \$39.500 \]
y que un arriendo mensual es de 9,5 UF.
- Convierte el arriendo a pesos.
- Si otro arriendo cuesta \$370.000, compáralos.
- Indica cuál es mayor y por cuánto.
a)
\[ 9{,}5\cdot 39.500 = 375.250 \]
El arriendo equivale a \$375.250.
b) El arriendo en UF equivale a \$375.250 y el otro arriendo es de \$370.000.
c)
\[ 375.250 - 370.000 = 5.250 \]
El arriendo expresado en UF es mayor por \$5.250.
Ejercicio 8
Analiza la siguiente situación:
Un estudiante dice: “Si una multa es de 2 UTM y el IPC del mes fue 1%, entonces la multa sube exactamente 1% por ser UTM e IPC lo mismo”.
- ¿Es correcta esa afirmación?
- Explica brevemente la diferencia entre UTM e IPC.
- Indica qué información faltaría para convertir 2 UTM a pesos.
a) No, la afirmación es incorrecta.
b) La UTM es una unidad usada en contextos tributarios y algunos cobros o multas. El IPC es un índice que describe variaciones generales de precios. No significan lo mismo ni se usan de la misma manera.
c) Para convertir 2 UTM a pesos hace falta conocer el valor de 1 UTM en pesos en el contexto del ejercicio.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál es el 12% de \$80.000?
- \$8.000
- \$9.600
- \$10.200
- \$12.000
\[ 0{,}12\cdot 80.000 = 9.600 \]
Alternativa correcta: b
PAES 2
¿Cuál es el multiplicador asociado a un descuento del 25%?
- 1,25
- 0,25
- 0,75
- 1,75
\[ 1-0{,}25 = 0{,}75 \]
Alternativa correcta: c
PAES 3
Una cantidad crece un 10% por período durante 2 períodos. ¿Qué expresión la modela correctamente si parte en \(C_0\)?
- \(C_0+0{,}10\cdot 2\)
- \(C_0(1{,}10)^2\)
- \(C_0(0{,}10)^2\)
- \(C_0(1{,}20)\)
Un crecimiento de 10% por período se modela con el factor \(1{,}10\) repetido dos veces:
\[ C_0(1{,}10)^2 \]
Alternativa correcta: b
PAES 4
Una cantidad pasa de 200 a 230. ¿Cuál es su tasa de variación porcentual?
- 10%
- 12%
- 15%
- 20%
\[ \frac{230-200}{200}=\frac{30}{200}=0{,}15 \]
La tasa es 15%.
Alternativa correcta: c
PAES 5
Una cantidad baja de 500 a 425. ¿Cuál es su tasa de variación porcentual?
- \(-10\%\)
- \(-12\%\)
- \(-15\%\)
- \(-20\%\)
\[ \frac{425-500}{500}=\frac{-75}{500}=-0{,}15 \]
La tasa es -15%.
Alternativa correcta: c
PAES 6
Una persona ahorra \$100.000 a una tasa de 5% por un período. ¿Cuál es el monto final?
- \$95.000
- \$100.500
- \$105.000
- \$110.000
\[ 100.000(1{,}05)=105.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 7
Una persona pide un crédito de \$200.000 a una tasa de 4% por un período. ¿Cuál es el total a pagar?
- \$196.000
- \$204.000
- \$208.000
- \$214.000
\[ 200.000(1{,}04)=208.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 8
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- En ahorro y crédito una tasa alta siempre significa lo mismo para la persona.
- En ahorro el interés es una ganancia; en crédito el interés es un costo.
- El interés siempre coincide con el monto final.
- El crédito disminuye con una tasa positiva.
La afirmación correcta es la b.
Alternativa correcta: b
PAES 9
Un producto cuesta \$180.000 al contado o 6 cuotas de \$32.000. ¿Cuál es el costo total financiado?
- \$182.000
- \$190.000
- \$192.000
- \$196.000
\[ 6\cdot 32.000 = 192.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 10
En un plan se paga un pie de \$30.000 y luego 4 cuotas de \$20.000. ¿Cuál es el costo total?
- \$80.000
- \$100.000
- \$110.000
- \$120.000
\[ 30.000 + 4\cdot 20.000 \]
\[ 30.000 + 80.000 = 110.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 11
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- La cuota más baja siempre implica menor costo total.
- Para comparar alternativas de pago conviene observar cuota y costo total.
- Si hay pago inicial, no se considera en el total.
- El valor al contado siempre es mayor que el financiado.
La afirmación verdadera es la b.
Alternativa correcta: b
PAES 12
Si en un ejercicio se indica que \(1\ \text{UF}=\$40.000\), ¿cuánto equivalen 7 UF?
- \$240.000
- \$260.000
- \$280.000
- \$300.000
\[ 7\cdot 40.000 = 280.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 13
Si en un ejercicio se indica que \(1\ \text{UTM}=\$66.000\), ¿cuánto equivalen 1,5 UTM?
- \$89.000
- \$96.000
- \$99.000
- \$109.000
\[ 1{,}5\cdot 66.000 = 99.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 14
¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde mejor al IPC?
- Unidad usada para multas y topes tributarios.
- Índice relacionado con la variación general de precios.
- Moneda extranjera usada en contratos.
- Sinónimo de cuota mensual.
La descripción correcta es la b.
Alternativa correcta: b
PAES 15
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- La UF siempre tiene el mismo valor en pesos.
- La UTM y el IPC significan exactamente lo mismo.
- Para convertir UF o UTM a pesos se necesita conocer el valor de esa unidad en pesos.
- El IPC se calcula multiplicando la cantidad de UF por el valor del peso.
La afirmación verdadera es la c.
Alternativa correcta: c
PAES 16
Un arriendo cuesta 8 UF. Si en el ejercicio se informa que \(1\ \text{UF}=\$39.000\), ¿cuál es el valor del arriendo en pesos?
- \$302.000
- \$312.000
- \$318.000
- \$320.000
\[ 8\cdot 39.000 = 312.000 \]
Alternativa correcta: b
Análisis de errores
Revisa si convertiste correctamente el porcentaje a decimal y si identificaste bien el valor inicial. En problemas de tasa de variación, el error más común es dividir por el valor final en vez de dividir por el inicial.
Vuelve a distinguir entre interés y monto final. En ahorro, el interés se interpreta como ganancia; en crédito, como costo. También revisa si usaste bien el factor \((1+i)^n\) cuando había varios períodos.
No compares alternativas mirando solo la cuota. Calcula siempre el total pagado y, cuando corresponda, suma también el pie o pago inicial.
Recuerda que UF y UTM son unidades que se convierten a pesos usando un valor dado. En cambio, el IPC se interpreta como un índice relacionado con variaciones generales de precios, no como una cantidad directa de dinero.
En esta unidad aprendiste a usar porcentajes y tasas para analizar aumentos, descuentos, ahorro, crédito, pagos en cuotas y referencias económicas usadas en Chile. Estas herramientas son clave para leer información financiera con más claridad y tomar decisiones mejor fundamentadas.