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8. Evaluación de unidad y análisis de errores
Evaluación de unidad y análisis de errores
Evaluación de unidad y análisis de errores
En esta página cerrarás la unidad de matemática financiera con una evaluación que integra los contenidos trabajados:
- Porcentaje como operador
- Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
- Tasa de variación
- Interés aplicado al ahorro
- Interés aplicado al crédito
- Lectura de cuotas, costo total y comparación de alternativas
- Índices económicos usados en Chile: UF, UTM e IPC
Antes de comenzar, revisa este repaso muy breve.
Repaso muy breve
Ideas centrales de la unidad
| Tema | Idea clave | Qué debes recordar |
|---|---|---|
| Porcentaje | Actúa como operador | Aplicar \(p\%\) equivale a multiplicar por \(\frac{p}{100}\) |
| Aumentos y descuentos | Se usan multiplicadores | Aumento: \(1+\frac{p}{100}\); descuento: \(1-\frac{p}{100}\) |
| Crecimiento constante | Es multiplicativo | Después de \(n\) períodos: \(C_0(1+r)^n\) |
| Tasa de variación | Compara con el valor inicial | \(\frac{V_f-V_i}{V_i}\) |
| Ahorro y crédito | No significan lo mismo | En ahorro la tasa favorece el capital; en crédito aumenta el costo |
| Cuotas y costo total | No basta mirar la cuota | También hay que comparar el total pagado |
| UF, UTM, IPC | Son referencias distintas | UF y UTM se convierten a pesos con un valor dado; IPC se interpreta como variación general de precios |
Antes de empezar
En esta evaluación conviene leer con calma qué representa cada dato: porcentaje, tasa, cuota, valor al contado o unidad económica. Muchas veces el error no está en el cálculo, sino en interpretar mal qué te están pidiendo comparar.
Errores frecuentes
- Sumar porcentajes cuando corresponde multiplicar varias veces por un factor.
- Confundir interés con monto final o total a pagar.
- Fijarse solo en la cuota y no en el costo total.
- Olvidar que UF y UTM no son pesos directos.
- Usar la fórmula directa cuando el problema pide recuperar el valor inicial.
Ejercicios de desarrollo
Ejercicio 1
Un producto queda en $205.000 después de aplicar un 18% de descuento.
- Determina el multiplicador asociado al descuento.
- Calcula el precio original.
- Calcula el valor del descuento.
- Verifica el resultado usando el multiplicador.
a) Un descuento de 18% usa el multiplicador:
\[1-0{,}18=0{,}82\]
b) Como conocemos el precio final, usamos la fórmula inversa:
\[\text{precio original}=\frac{205.000}{0{,}82}=250.000\]
El precio original era $250.000.
c) El descuento fue:
\[250.000-205.000=45.000\]
El descuento fue de $45.000.
d) Verificamos:
\[250.000\cdot 0{,}82=205.000\]
El resultado coincide con el precio final informado.
Ejercicio 2
Una inversión inicial crece un 6% mensual durante 3 meses y llega aproximadamente a $142.922.
- Escribe la expresión general que modela la situación.
- Calcula el capital inicial aproximado.
- Calcula el aumento total en pesos.
- Explica por qué no basta con restar un 18% al monto final para recuperar el capital inicial.
a) El crecimiento mensual de 6% usa multiplicador:
\[1+0{,}06=1{,}06\]
La expresión general es:
\[M_3=C_0(1{,}06)^3\]
b) Como \((1{,}06)^3=1{,}191016\), usamos:
\[C_0=\frac{142.922}{1{,}191016}\approx 120.000\]
El capital inicial fue aproximadamente $120.000.
c) El aumento total fue:
\[142.922-120.000=22.922\]
El aumento total fue aproximadamente $22.922.
d) No basta con restar 18%, porque el 6% se aplica mes a mes sobre montos actualizados. El crecimiento total no es exactamente 18%, sino:
\[(1{,}06)^3-1=1{,}191016-1=0{,}191016\]
El aumento total corresponde aproximadamente a 19,10%.
Ejercicio 3
El valor de un equipo baja de $480.000 a $408.000.
- Calcula la variación absoluta.
- Calcula la tasa de variación.
- Determina el multiplicador asociado.
- Si otro equipo bajó también $72.000, pero desde $720.000, ¿tuvo la misma tasa de variación? Justifica.
a)
\[408.000-480.000=-72.000\]
La variación absoluta es -$72.000.
b)
\[\frac{408.000-480.000}{480.000}=\frac{-72.000}{480.000}=-0{,}15\]
La tasa de variación es -15%.
c) El multiplicador asociado es:
\[1-0{,}15=0{,}85\]
d) Para el segundo equipo:
\[\frac{-72.000}{720.000}=-0{,}10=-10\%\]
No tuvo la misma tasa. Aunque ambos bajaron $72.000, ese cambio representa un porcentaje distinto porque los valores iniciales son diferentes.
Ejercicio 4
Una persona quiere tener $324.480 en una cuenta de ahorro después de 2 meses. La cuenta paga 4% mensual.
- Calcula cuánto debe depositar inicialmente.
- Calcula el interés total ganado.
- Verifica el resultado calculando el monto final.
- Explica qué significa el resultado en contexto.
a) El multiplicador mensual es:
\[1+0{,}04=1{,}04\]
Como se conocen el monto final, la tasa y el número de períodos:
\[C_0=\frac{324.480}{(1{,}04)^2}\]
\[C_0=\frac{324.480}{1{,}0816}=300.000\]
Debe depositar inicialmente $300.000.
b) El interés total ganado será:
\[324.480-300.000=24.480\]
Ganará $24.480 de interés.
c) Verificamos:
\[300.000(1{,}04)^2=300.000\cdot 1{,}0816=324.480\]
d) Esto significa que, si deposita $300.000 y no retira el dinero durante 2 meses, al 4% mensual llegará a $324.480.
Ejercicio 5
Una persona pide un crédito que, después de 2 meses con una tasa de 5% mensual, llega a una deuda final de $275.625.
- Calcula el capital inicialmente prestado.
- Calcula el interés total acumulado.
- Determina el porcentaje total de aumento de la deuda.
- Explica por qué esta situación no se interpreta igual que un ahorro.
a) El multiplicador mensual es:
\[1+0{,}05=1{,}05\]
Usamos la fórmula inversa:
\[C_0=\frac{275.625}{(1{,}05)^2}\]
\[C_0=\frac{275.625}{1{,}1025}=250.000\]
El capital inicialmente prestado fue $250.000.
b) El interés total acumulado fue:
\[275.625-250.000=25.625\]
El interés total fue $25.625.
c) El porcentaje total de aumento fue:
\[\frac{25.625}{250.000}=0{,}1025=10{,}25\%\]
d) En un ahorro, el interés representa una ganancia para quien deposita dinero. En un crédito, el interés representa un costo, porque hace que la deuda crezca y que la persona deba devolver más de lo que recibió al inicio.
Ejercicio 6
Una tienda ofrece un refrigerador con estas opciones:
| Alternativa | Condición |
|---|---|
| A | $360.000 al contado |
| B | 12 cuotas de $33.000 |
| C | Pago inicial de $40.000 y 8 cuotas de $41.000 |
- Calcula el costo total de B y C.
- Ordénalas desde la de menor a la de mayor costo total.
- Indica cuál tiene la cuota más baja.
- Calcula cuánto más se paga en C respecto del contado.
- Redacta una conclusión comparativa.
a) Alternativa B:
\[12\cdot 33.000=396.000\]
Alternativa C:
\[40.000+8\cdot 41.000=40.000+328.000=368.000\]
b) De menor a mayor costo total:
- A: $360.000
- C: $368.000
- B: $396.000
c) La cuota más baja es la de la alternativa B: $33.000.
d) La diferencia entre C y contado es:
\[368.000-360.000=8.000\]
En C se pagan $8.000 más que al contado.
e) Si el criterio es pagar menos en total, conviene la alternativa A. Si no se puede pagar al contado, la alternativa C cuesta menos que la B, aunque la B tenga la cuota mensual más baja.
Ejercicio 7
En un ejercicio se indica que:
\[1\ \text{UF}=$39.500\]
y que un arriendo mensual es de 9,5 UF.
- Convierte el arriendo a pesos.
- Si otro arriendo cuesta $370.000, compáralos.
- Indica cuál es mayor y por cuánto.
- ¿Cuál tendría que ser el valor de 1 UF para que 9,5 UF equivalgan exactamente a $370.000?
a)
\[9{,}5\cdot 39.500=375.250\]
El arriendo equivale a $375.250.
b) El arriendo en UF equivale a $375.250 y el otro arriendo es de $370.000.
c)
\[375.250-370.000=5.250\]
El arriendo expresado en UF es mayor por $5.250.
d) Buscamos el valor de 1 UF:
\[9{,}5\cdot \text{UF}=370.000\]
\[\text{UF}=\frac{370.000}{9{,}5}\approx 38.947{,}37\]
El valor de 1 UF tendría que ser aproximadamente $38.947.
Ejercicio 8
Analiza la siguiente situación:
Un estudiante dice: “Si una multa es de 2 UTM y el IPC del mes fue 1%, entonces la multa sube exactamente 1% por ser UTM e IPC lo mismo”.
- ¿Es correcta esa afirmación?
- Explica brevemente la diferencia entre UTM e IPC.
- Indica qué información faltaría para convertir 2 UTM a pesos.
- Si en el ejercicio \(1\ \text{UTM}=$66.000\), calcula el valor de la multa.
a) No, la afirmación es incorrecta.
b) La UTM es una unidad usada en contextos tributarios y algunos cobros o multas. El IPC es un índice que describe variaciones generales de precios. No significan lo mismo ni se usan de la misma manera.
c) Para convertir 2 UTM a pesos hace falta conocer el valor de 1 UTM en pesos en el contexto del ejercicio.
d)
\[2\cdot 66.000=132.000\]
La multa equivale a $132.000.
Ejercicio 9
Una persona quiere comparar dos alternativas para recibir $400.000 hoy:
| Alternativa | Condición |
|---|---|
| A | Pagar $424.000 al final de 1 período |
| B | Pagar 2 cuotas de $215.000 |
- Calcula el costo adicional de cada alternativa respecto del dinero recibido.
- Determina cuál tiene menor costo total.
- Calcula la tasa de interés de la alternativa A.
- Explica qué otra información sería importante considerar antes de decidir.
a) Alternativa A:
\[424.000-400.000=24.000\]
Alternativa B:
\[2\cdot 215.000=430.000\]
\[430.000-400.000=30.000\]
b) La alternativa A tiene menor costo total, porque se pagan $424.000, mientras que en B se pagan $430.000.
c) La tasa de interés de A es:
\[\frac{24.000}{400.000}=0{,}06=6\%\]
d) Además del costo total, sería importante considerar cuándo se realizan los pagos, si existen cargos adicionales, multas por atraso o condiciones especiales del crédito.
Ejercicio 10
Un monto de $600.000 se reajusta según una variación de IPC de 2,5%.
- Calcula el monto reajustado.
- Calcula el aumento en pesos.
- Si después del reajuste el monto queda en $615.000, ¿cuál era el monto inicial?
a) Un reajuste de 2,5% usa multiplicador:
\[1+0{,}025=1{,}025\]
\[600.000(1{,}025)=615.000\]
El monto reajustado es $615.000.
b) El aumento fue:
\[615.000-600.000=15.000\]
El aumento fue de $15.000.
c) Si el monto final es $615.000, usamos la fórmula inversa:
\[\text{monto inicial}=\frac{615.000}{1{,}025}=600.000\]
El monto inicial era $600.000.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Después de un descuento de 20%, un producto queda en $96.000. ¿Cuál era su precio original?
- $76.800
- $100.000
- $115.200
- $120.000
Un descuento de 20% usa multiplicador:
\[1-0{,}20=0{,}80\]
Como se conoce el precio final:
\[\frac{96.000}{0{,}80}=120.000\]
Alternativa correcta: d
PAES 2
Una cantidad crece un 10% por período durante 2 períodos. ¿Qué expresión la modela correctamente si parte en \(C_0\)?
- \(C_0+0{,}10\cdot 2\)
- \(C_0(1{,}10)^2\)
- \(C_0(0{,}10)^2\)
- \(C_0(1{,}20)\)
Un crecimiento de 10% por período se modela con el factor \(1{,}10\) repetido dos veces:
\[ C_0(1{,}10)^2 \]
Alternativa correcta: b
PAES 3
Una cantidad pasa de 200 a 230. ¿Cuál es su tasa de variación porcentual?
- 10%
- 12%
- 15%
- 20%
\[ \frac{230-200}{200}=\frac{30}{200}=0{,}15 \]
La tasa es 15%.
Alternativa correcta: c
PAES 4
Una cantidad baja de 500 a 425. ¿Cuál es su tasa de variación porcentual?
- \(-10\%\)
- \(-12\%\)
- \(-15\%\)
- \(-20\%\)
\[ \frac{425-500}{500}=\frac{-75}{500}=-0{,}15 \]
La tasa es -15%.
Alternativa correcta: c
PAES 5
Una persona ahorra $100.000 a una tasa de 5% por período durante 2 períodos. ¿Cuál es el monto final?
- $105.000
- $110.000
- $110.250
- $115.000
Como la tasa se aplica durante 2 períodos:
\[100.000(1{,}05)^2=100.000\cdot 1{,}1025=110.250\]
Alternativa correcta: c
PAES 6
Después de un período con una tasa de 4%, una deuda queda en $208.000. ¿Cuál fue el capital prestado?
- $196.000
- $200.000
- $204.000
- $216.320
Una tasa de 4% usa multiplicador:
\[1+0{,}04=1{,}04\]
Usamos la fórmula inversa:
\[\frac{208.000}{1{,}04}=200.000\]
Alternativa correcta: b
PAES 7
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- En ahorro y crédito una tasa alta siempre significa lo mismo para la persona.
- En ahorro el interés es una ganancia; en crédito el interés es un costo.
- El interés siempre coincide con el monto final.
- El crédito disminuye con una tasa positiva.
En el ahorro, el interés aumenta el dinero de quien deposita. En el crédito, el interés aumenta lo que debe pagar quien pidió dinero prestado.
Alternativa correcta: b
PAES 8
Un producto cuesta $180.000 al contado o 6 cuotas de $32.000. ¿Cuánto más se paga al financiar?
- $12.000
- $18.000
- $192.000
- $372.000
El costo total financiado es:
\[6\cdot 32.000=192.000\]
La diferencia con el contado es:
\[192.000-180.000=12.000\]
Alternativa correcta: a
PAES 9
En un plan se paga un pie de $30.000 y luego 4 cuotas de $20.000. Si el valor contado era $100.000, ¿cuánto más se paga con el plan?
- $10.000
- $30.000
- $80.000
- $110.000
El costo total del plan es:
\[30.000+4\cdot 20.000=30.000+80.000=110.000\]
La diferencia con el valor contado es:
\[110.000-100.000=10.000\]
Alternativa correcta: a
PAES 10
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- La cuota más baja siempre implica menor costo total.
- Para comparar alternativas de pago conviene observar cuota y costo total.
- Si hay pago inicial, no se considera en el total.
- El valor al contado siempre es mayor que el financiado.
Para comparar alternativas de pago no basta mirar la cuota. También hay que calcular el costo total y considerar pagos iniciales si existen.
Alternativa correcta: b
PAES 11
Si en un ejercicio se indica que \(1\ \text{UF}=$40.000\), ¿cuánto equivalen 7 UF?
- $240.000
- $260.000
- $280.000
- $300.000
\[7\cdot 40.000=280.000\]
Alternativa correcta: c
PAES 12
Si en un ejercicio se indica que \(1\ \text{UTM}=$66.000\), ¿cuánto equivalen 1,5 UTM?
- $89.000
- $96.000
- $99.000
- $109.000
\[1{,}5\cdot 66.000=99.000\]
Alternativa correcta: c
PAES 13
Un arriendo cuesta 8 UF. Si en el ejercicio se informa que \(1\ \text{UF}=$39.000\), ¿cuál es el valor del arriendo en pesos?
- $302.000
- $312.000
- $318.000
- $320.000
\[8\cdot 39.000=312.000\]
Alternativa correcta: b
PAES 14
Un cobro de $330.000 equivale a 8,25 UF. ¿Cuál es el valor de 1 UF usado en el ejercicio?
- $38.000
- $39.000
- $40.000
- $41.000
Para encontrar el valor de 1 UF:
\[\frac{330.000}{8{,}25}=40.000\]
Alternativa correcta: c
PAES 15
¿Cuál de las siguientes descripciones corresponde mejor al IPC?
- Unidad usada para multas y topes tributarios.
- Índice relacionado con la variación general de precios.
- Moneda extranjera usada en contratos.
- Sinónimo de cuota mensual.
El IPC es un índice relacionado con la variación general de precios.
Alternativa correcta: b
PAES 16
Un monto de $250.000 se reajusta en 4%. ¿Cuál es el nuevo monto?
- $254.000
- $260.000
- $270.000
- $290.000
Un reajuste de 4% usa multiplicador:
\[1+0{,}04=1{,}04\]
\[250.000(1{,}04)=260.000\]
Alternativa correcta: b
Análisis de errores
Si tuviste dificultades con porcentajes y tasas
Revisa si convertiste correctamente el porcentaje a decimal y si identificaste bien el valor inicial. En problemas de tasa de variación, el error más común es dividir por el valor final en vez de dividir por el inicial.
Si tuviste dificultades con ahorro o crédito
Vuelve a distinguir entre interés y monto final. En ahorro, el interés se interpreta como ganancia; en crédito, como costo. También revisa si usaste bien el factor \((1+i)^n\) cuando había varios períodos.
Si tuviste dificultades con cuotas y costo total
No compares alternativas mirando solo la cuota. Calcula siempre el total pagado y, cuando corresponda, suma también el pie o pago inicial.
Si tuviste dificultades con UF, UTM e IPC
Recuerda que UF y UTM son unidades que se convierten a pesos usando un valor dado. En cambio, el IPC se interpreta como un índice relacionado con variaciones generales de precios, no como una cantidad directa de dinero.
Cierre de unidad
En esta unidad aprendiste a usar porcentajes y tasas para analizar aumentos, descuentos, ahorro, crédito, pagos en cuotas y referencias económicas usadas en Chile. Estas herramientas son clave para leer información financiera con más claridad y tomar decisiones mejor fundamentadas.