Funciones potencias y trigonométricas
2. Lectura y construcción de tablas para funciones potencia
Lectura y construcción de tablas para funciones potencia
En la página anterior comenzamos a trabajar con funciones potencia de exponente entero. Ahora daremos un paso muy importante: leer y construir tablas de valores para este tipo de funciones.
Las tablas permiten observar cómo cambia una función cuando la variable toma distintos valores. Esto será muy útil más adelante, porque nos preparará para comparar gráficos y analizar con más detalle el efecto de los exponentes y de los parámetros.
En esta página trabajaremos con funciones como \(x^2\), \(x^3\), \(x^{-1}\) y \(x^{-2}\), construyendo tablas e interpretando la información que ellas muestran.
Objetivo de la página
- Construir tablas de valores para funciones potencia de exponente entero.
- Leer e interpretar la información que entrega una tabla.
- Reconocer diferencias entre exponentes positivos y negativos.
- Relacionar la tabla con el comportamiento de la función.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Completar tablas de valores para funciones potencia.
- Elegir valores adecuados de \(x\) para construir una tabla.
- Interpretar si una función crece, decrece o cambia de signo a partir de una tabla.
- Reconocer cuándo un valor no está definido.
Una función potencia de exponente entero tiene la forma:
\[ f(x)=a\cdot x^n \]
Para construir una tabla, elegimos algunos valores de \(x\) y calculamos el valor correspondiente de \(f(x)\).
Por ejemplo, si:
\[ f(x)=x^2 \]
y tomamos \(x=1,2,3\), obtenemos:
\[ f(1)=1,\qquad f(2)=4,\qquad f(3)=9 \]
Cuando el exponente es negativo, conviene reescribir la función como fracción.
Por ejemplo:
\[ x^{-1}=\frac{1}{x} \qquad\text{y}\qquad x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
Eso facilita el cálculo al construir la tabla.
Una tabla no es solo una lista de cuentas: también permite descubrir patrones. Por ejemplo, puede mostrar si los valores aumentan, disminuyen, se repiten o cambian de signo.
Si la función tiene exponente negativo, no se puede evaluar en \(x=0\), porque aparecería una división por cero. Por ejemplo, \(\frac{1}{0}\) no está definido.
Resumen de lectura de tablas
| Función | Tipo de exponente | Qué conviene observar en la tabla | Detalle importante |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | Positivo par | Los valores son no negativos | \(f(-x)=f(x)\) |
| \(x^3\) | Positivo impar | Los signos se conservan | \(f(-x)=-f(x)\) |
| \(x^{-1}\) | Negativo impar | Disminuye para \(x>0\) | No está definida en \(x=0\) |
| \(x^{-2}\) | Negativo par | Siempre es positiva para \(x\neq 0\) | No está definida en \(x=0\) |
Ejemplo guiado 1: construir una tabla para \(f(x)=x^2\)
Tomemos los valores \(x=-2,-1,0,1,2\).
Calculamos:
\[ (-2)^2=4,\qquad (-1)^2=1,\qquad 0^2=0,\qquad 1^2=1,\qquad 2^2=4 \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=x^2\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
La tabla muestra que los valores a izquierda y derecha de 0 se repiten de manera simétrica.
Ejemplo guiado 2: construir una tabla para \(g(x)=x^3\)
Tomemos los valores \(x=-2,-1,0,1,2\).
Calculamos:
\[ (-2)^3=-8,\qquad (-1)^3=-1,\qquad 0^3=0,\qquad 1^3=1,\qquad 2^3=8 \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)=x^3\) | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 |
Aquí la tabla muestra que los signos negativos se conservan cuando \(x\) es negativo.
Ejemplo guiado 3: construir una tabla para \(h(x)=x^{-1}\)
Reescribimos la función como:
\[ h(x)=\frac{1}{x} \]
Tomemos los valores \(x=-2,-1,1,2,4\).
Calculamos:
\[ h(-2)=-\frac{1}{2},\qquad h(-1)=-1,\qquad h(1)=1,\qquad h(2)=\frac{1}{2},\qquad h(4)=\frac{1}{4} \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)=x^{-1}\) | \(-\frac{1}{2}\) | -1 | 1 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Se observa que, para \(x>0\), los valores disminuyen a medida que \(x\) aumenta.
Al construir una tabla conviene escoger valores que faciliten el cálculo y permitan ver el comportamiento de la función. En exponentes negativos, muchas veces es útil usar \(1\), \(2\), \(4\) o fracciones sencillas, y evitar \(0\).
Las tablas son una herramienta muy usada en ciencias, economía e ingeniería para explorar modelos antes de graficarlos. Permiten detectar rápidamente patrones de crecimiento, decrecimiento y relaciones inversas entre variables.
Ejercicios
Ejercicio 1
Completa la tabla para la función:
\[ f(x)=x^2 \]
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Ejercicio 2
Completa la tabla para la función:
\[ g(x)=x^3 \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 | 27 |
Ejercicio 3
Completa la tabla para la función:
\[ h(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \]
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | \(-\frac{1}{4}\) | \(-\frac{1}{2}\) | -1 | 1 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
Ejercicio 4
Completa la tabla para la función:
\[ p(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(\frac{1}{4}\) | 1 | 1 | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{9}\) |
Ejercicio 5
Observa la siguiente tabla:
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
- ¿Qué función potencia podría estar representada?
- ¿Qué patrón observas en los valores?
a) Una función posible es:
\[ f(x)=x^2 \]
b) Los valores son iguales para \(x\) y \(-x\). Además, todos los valores son no negativos.
Ejercicio 6
Observa la siguiente tabla:
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | \(-\frac{1}{2}\) | -1 | 1 | \(\frac{1}{2}\) |
- ¿Qué función potencia podría estar representada?
- Explica por qué no aparece \(x=0\) en la tabla.
a) Una función posible es:
\[ g(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \]
b) No aparece \(x=0\) porque la función no está definida en ese valor, ya que implicaría dividir por cero.
Ejercicio 7
Compara, a partir de tablas sencillas, el comportamiento de:
\[ f(x)=x^2 \qquad\text{y}\qquad g(x)=x^3 \]
Redacta una diferencia importante entre ambas cuando se usan valores negativos de \(x\).
Una diferencia importante es que en \(f(x)=x^2\) los valores negativos de \(x\) producen resultados positivos, mientras que en \(g(x)=x^3\) los valores negativos de \(x\) producen resultados negativos.
Ejercicio 8
Un estudiante construye una tabla para \(q(x)=x^{-1}\) y escribe que \(q(0)=0\).
¿Es correcto? Justifica.
No, no es correcto.
Como:
\[ q(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \]
entonces en \(x=0\) se obtendría \(\frac{1}{0}\), que no está definido. Por eso \(q(0)\) no existe.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Si \(f(x)=x^2\), ¿cuál es el valor de \(f(-3)\)?
- \(-9\)
- 9
- \(-6\)
- 6
\[ f(-3)=(-3)^2=9 \]
Alternativa correcta: b
PAES 2
Si \(g(x)=x^3\), ¿cuál es el valor de \(g(-2)\)?
- 8
- \(-8\)
- 4
- \(-4\)
\[ g(-2)=(-2)^3=-8 \]
Alternativa correcta: b
PAES 3
Si \(h(x)=x^{-1}\), ¿cuál es el valor de \(h(4)\)?
- 4
- \(\frac{1}{4}\)
- \(-4\)
- 0
\[ h(4)=4^{-1}=\frac{1}{4} \]
Alternativa correcta: b
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- La función \(x^{-1}\) está definida en \(x=0\).
- En la función \(x^2\), los valores de \(f(-2)\) y \(f(2)\) son iguales.
- En la función \(x^3\), los valores negativos de \(x\) dan resultados positivos.
- En \(x^{-2}\), todos los valores son negativos.
La afirmación correcta es la b.
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página aprendimos a construir y leer tablas de valores para funciones potencia de exponente entero. Vimos que las tablas permiten descubrir patrones importantes, como simetrías, cambios de signo, crecimiento, decrecimiento y valores no definidos.
En la siguiente página usaremos esta información para avanzar hacia la comparación de gráficos de funciones potencia.
- Una tabla ayuda a observar cómo cambia una función.
- En exponentes negativos conviene reescribir la función como fracción.
- Si aparece división por cero, el valor no está definido.
- Las tablas son una base importante para construir e interpretar gráficos.