Libro de geometria analitica rectas y circunsferencia
1. Recordatorio del plano cartesiano y lectura geométrica de rectas
Recordatorio del plano cartesiano y lectura geométrica de rectas
Inicio
Antes de estudiar con más detalle la pendiente y las ecuaciones de la recta, conviene recordar algunas ideas fundamentales del plano cartesiano.
En esta página revisaremos cómo ubicar puntos, cómo leer coordenadas y cómo interpretar geométricamente una recta a partir de su posición, su dirección y su relación con los ejes.
Objetivo de la página
- Recordar la estructura del plano cartesiano y la ubicación de puntos.
- Interpretar geométricamente rectas en el plano.
- Distinguir rectas crecientes, decrecientes, horizontales y verticales.
- Relacionar la posición de una recta con información geométrica básica.
Al finalizar esta página deberías poder
- Ubicar correctamente puntos en el plano a partir de sus coordenadas.
- Identificar cuadrantes y ejes.
- Describir una recta a partir de su forma y orientación.
- Reconocer si una recta sube, baja, es horizontal o es vertical.
Recordatorio básico
En el plano cartesiano, cada punto se representa mediante un par ordenado:
\[ (x,y) \]
donde:
- \(x\) indica la posición horizontal.
- \(y\) indica la posición vertical.
El punto \((0,0)\) se llama origen.
Cuadrantes
Los ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes:
- I cuadrante: \(x>0\) e \(y>0\).
- II cuadrante: \(x<0\) e \(y>0\).
- III cuadrante: \(x<0\) e \(y<0\).
- IV cuadrante: \(x>0\) e \(y<0\).
Si un punto está sobre un eje, entonces no pertenece a ningún cuadrante.
Idea clave
Una recta puede leerse geométricamente observando:
- si sube o baja al avanzar hacia la derecha,
- si corta a los ejes,
- si es horizontal o vertical,
- si pasa por ciertos puntos del plano.
Error frecuente
No hay que confundir el orden de las coordenadas.
El punto \((2,3)\) no es lo mismo que el punto \((3,2)\), porque el primer número indica la posición horizontal y el segundo número indica la posición vertical.
Resumen conceptual
| Elemento | Interpretación |
|---|---|
| Eje \(x\) | Eje horizontal |
| Eje \(y\) | Eje vertical |
| Origen | Punto \((0,0)\) |
| Recta creciente | Sube al avanzar hacia la derecha |
| Recta decreciente | Baja al avanzar hacia la derecha |
| Recta horizontal | Tiene altura constante: \(y=k\) |
| Recta vertical | Tiene valor de \(x\) constante: \(x=k\) |
Ejemplo guiado 1: lectura de puntos en el plano
Consideremos los siguientes puntos:
\[ A(2,3),\qquad B(-3,2),\qquad C(-2,-3),\qquad D(3,-2) \]
Podemos leerlos así:
- \(A(2,3)\): 2 unidades a la derecha y 3 hacia arriba.
- \(B(-3,2)\): 3 unidades a la izquierda y 2 hacia arriba.
- \(C(-2,-3)\): 2 unidades a la izquierda y 3 hacia abajo.
- \(D(3,-2)\): 3 unidades a la derecha y 2 hacia abajo.
| Punto | Signo de \(x\) | Signo de \(y\) | Cuadrante |
|---|---|---|---|
| \(A(2,3)\) | Positivo | Positivo | I |
| \(B(-3,2)\) | Negativo | Positivo | II |
| \(C(-2,-3)\) | Negativo | Negativo | III |
| \(D(3,-2)\) | Positivo | Negativo | IV |
Esto permite recordar que el signo de cada coordenada ayuda a identificar en qué zona del plano se encuentra el punto.
Ejemplo guiado 2: primera lectura geométrica de una recta
Observemos la recta:
\[ y=x \]
La recta pasa por el origen y sube a medida que avanzamos hacia la derecha.
Geométricamente, eso significa que es una recta creciente.
Ejemplo guiado 3: tipos de rectas según su orientación
Comparemos cuatro rectas:
\[ y=x,\qquad y=-x,\qquad y=2,\qquad x=2 \]
| Recta | Lectura geométrica |
|---|---|
| \(y=x\) | Creciente: sube al avanzar hacia la derecha. |
| \(y=-x\) | Decreciente: baja al avanzar hacia la derecha. |
| \(y=2\) | Horizontal: mantiene siempre la misma altura. |
| \(x=2\) | Vertical: mantiene siempre el mismo valor de \(x\). |
Una recta vertical no se escribe como \(y=f(x)\), porque para un mismo valor de \(x\) tiene muchos valores posibles de \(y\).
Ejercicios
Ejercicio 1: ubicación de puntos
Indica en qué cuadrante o eje se ubica cada punto:
\[ P(4,1),\qquad Q(-2,5),\qquad R(-3,-4),\qquad S(5,-2),\qquad T(0,3),\qquad U(-4,0) \]
- \(P(4,1)\): \(x>0\), \(y>0\), por lo tanto está en el I cuadrante.
- \(Q(-2,5)\): \(x<0\), \(y>0\), por lo tanto está en el II cuadrante.
- \(R(-3,-4)\): \(x<0\), \(y<0\), por lo tanto está en el III cuadrante.
- \(S(5,-2)\): \(x>0\), \(y<0\), por lo tanto está en el IV cuadrante.
- \(T(0,3)\): como \(x=0\), está sobre el eje \(y\).
- \(U(-4,0)\): como \(y=0\), está sobre el eje \(x\).
Ejercicio 2: orden de las coordenadas
Explica por qué los puntos \((2,5)\) y \((5,2)\) no representan la misma ubicación.
En el punto \((2,5)\), la coordenada \(x\) es \(2\) y la coordenada \(y\) es \(5\). Esto significa avanzar 2 unidades a la derecha y 5 hacia arriba.
En el punto \((5,2)\), la coordenada \(x\) es \(5\) y la coordenada \(y\) es \(2\). Esto significa avanzar 5 unidades a la derecha y 2 hacia arriba.
Por lo tanto, \((2,5)\neq(5,2)\). El orden de las coordenadas cambia la ubicación del punto.
Ejercicio 3: clasificación de rectas
Clasifica cada recta como creciente, decreciente, horizontal o vertical:
- \(y=3x-1\)
- \(y=-2x+4\)
- \(y=-3\)
- \(x=5\)
- \(y=3x-1\) es creciente, porque al aumentar \(x\), el valor de \(y\) aumenta. Su coeficiente de \(x\) es positivo.
- \(y=-2x+4\) es decreciente, porque al aumentar \(x\), el valor de \(y\) disminuye. Su coeficiente de \(x\) es negativo.
- \(y=-3\) es horizontal, porque todos sus puntos tienen la misma altura: \(y=-3\).
- \(x=5\) es vertical, porque todos sus puntos tienen el mismo valor de \(x\): \(x=5\).
Ejercicio 4: lectura de rectas a partir de puntos
Para cada par de puntos, indica si la recta que pasa por ellos sube, baja, es horizontal o es vertical.
- \(A(-2,-1)\) y \(B(3,4)\)
- \(C(-1,3)\) y \(D(4,-2)\)
- \(E(-3,2)\) y \(F(4,2)\)
- \(G(1,-3)\) y \(H(1,4)\)
- De \(A(-2,-1)\) a \(B(3,4)\), al avanzar hacia la derecha, \(y\) pasa de \(-1\) a \(4\). La recta sube, por lo tanto es creciente.
- De \(C(-1,3)\) a \(D(4,-2)\), al avanzar hacia la derecha, \(y\) pasa de \(3\) a \(-2\). La recta baja, por lo tanto es decreciente.
- En \(E(-3,2)\) y \(F(4,2)\), la coordenada \(y\) es siempre \(2\). La recta es horizontal.
- En \(G(1,-3)\) y \(H(1,4)\), la coordenada \(x\) es siempre \(1\). La recta es vertical.
Ejercicio 5: interpretación de una gráfica
Observa la gráfica y responde:
- ¿Cuál recta es creciente?
- ¿Cuál recta es decreciente?
- ¿Cuál recta es horizontal?
- ¿Cuál recta es vertical?
- La recta creciente es \(y=x+1\), porque sube al avanzar hacia la derecha.
- La recta decreciente es \(y=-x+2\), porque baja al avanzar hacia la derecha.
- La recta horizontal es \(y=-2\), porque todos sus puntos tienen la misma altura.
- La recta vertical es \(x=-3\), porque todos sus puntos tienen el mismo valor de \(x\).