Rectas y circunferencias en el plano
3. Ecuación de la recta y relación con función lineal y afín
Ecuación de la recta y relación con función lineal y afín
En la clase anterior estudiamos la pendiente como medida de inclinación y como tasa de cambio. Ahora daremos un paso más: veremos cómo escribir una ecuación de la recta y cómo esta se relaciona con las funciones lineales y afines.
La idea central es que una recta no solo se puede observar en un gráfico, sino también describir mediante una expresión algebraica que permite reconocer su pendiente y su ubicación en el plano.
Objetivo de la página
- Reconocer la ecuación de la recta en la forma \(y=mx+n\).
- Relacionar la pendiente con el coeficiente \(m\).
- Interpretar el coeficiente \(n\) como intersección con el eje \(y\).
- Distinguir entre función lineal y función afín.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Identificar la pendiente y la intersección con el eje \(y\) en una recta.
- Reconocer cuándo una recta corresponde a una función lineal o a una función afín.
- Escribir la ecuación de una recta a partir de su pendiente y su corte con el eje \(y\).
- Interpretar ecuaciones de rectas en forma gráfica y contextual.
Una forma muy importante de escribir la ecuación de una recta es:
\[ y=mx+n \]
donde:
- \(m\) representa la pendiente,
- \(n\) representa la intersección con el eje \(y\).
En la ecuación \(y=mx+n\):
- el número \(m\) indica cuánto cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta una unidad,
- el número \(n\) indica el valor de \(y\) cuando \(x=0\).
Por eso, \(n\) corresponde al punto donde la recta corta al eje \(y\).
Cuando una recta tiene ecuación:
\[ y=mx \]
decimos que corresponde a una función lineal. En este caso, la recta pasa por el origen.
Cuando la recta tiene ecuación:
\[ y=mx+n \qquad \text{con } n\neq 0 \]
decimos que corresponde a una función afín.
La pendiente determina la inclinación de la recta, mientras que la intersección con el eje \(y\) determina dónde queda ubicada verticalmente en el plano.
No toda recta es una función lineal.
Solo las rectas que pasan por el origen tienen forma \(y=mx\). Si no pasan por el origen, corresponden a funciones afines.
Resumen conceptual
| Expresión | Tipo | Interpretación |
|---|---|---|
| \(y=mx\) | Función lineal | Pasa por el origen |
| \(y=mx+n\) | Función afín | Corta al eje \(y\) en \(n\) |
| \(m\) | Pendiente | Indica inclinación o tasa de cambio |
| \(n\) | Coeficiente de posición | Indica intersección con el eje \(y\) |
Ejemplo guiado 1: leer una ecuación de recta
Consideremos la recta:
\[ y=2x+3 \]
Comparando con la forma \(y=mx+n\), se observa que:
\[ m=2 \qquad\text{y}\qquad n=3 \]
- La pendiente es 2, por lo tanto la recta es creciente.
- La intersección con el eje \(y\) es 3.
Eso significa que cuando \(x=0\), se cumple:
\[ y=2\cdot 0+3=3 \]
Entonces la recta corta al eje \(y\) en el punto \((0,3)\).
Representación gráfica
Ejemplo guiado 2: función lineal y función afín
Comparemos las funciones:
\[ y=2x \qquad\text{y}\qquad y=2x+3 \]
Comparación gráfica
Ambas rectas tienen la misma pendiente:
\[ m=2 \]
Por eso tienen la misma inclinación.
Pero no están en la misma posición:
- \(y=2x\) pasa por el origen, por lo tanto es una función lineal.
- \(y=2x+3\) corta al eje \(y\) en 3, por lo tanto es una función afín.
Ejemplo guiado 3: construir la ecuación a partir de pendiente e intersección
Supongamos que una recta tiene pendiente \(m=-1\) y corta al eje \(y\) en 4.
Usamos la forma:
\[ y=mx+n \]
Reemplazando:
\[ y=-x+4 \]
Esa es la ecuación de la recta.
Representación gráfica
La recta baja al avanzar hacia la derecha porque su pendiente es negativa.
Además, corta al eje \(y\) en el punto \((0,4)\).
Ejemplo guiado 4: lectura desde una tabla
Observa la siguiente tabla:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 5 | 8 | 11 | 14 |
Cuando \(x\) aumenta en 1, el valor de \(y\) aumenta en 3.
Por lo tanto, la pendiente es:
\[ m=3 \]
Además, cuando \(x=0\), se tiene \(y=5\). Entonces:
\[ n=5 \]
La ecuación de la recta es:
\[ y=3x+5 \]
Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto
Supongamos que el costo total \(C\), en miles de pesos, de un servicio está dado por:
\[ C(x)=4x+2 \]
donde \(x\) representa la cantidad de horas utilizadas.
- La pendiente es 4: por cada hora adicional, el costo aumenta en 4 miles de pesos.
- La intersección con el eje \(y\) es 2: existe un cobro fijo inicial de 2 miles de pesos.
Entonces, la ecuación de la recta permite interpretar simultáneamente un cambio por unidad y un valor inicial.
Al ver una ecuación como \(y=mx+n\), conviene preguntarse:
- ¿cuál es la pendiente?,
- ¿la recta sube o baja?,
- ¿dónde corta al eje \(y\)?,
- ¿pasa por el origen o no?
Estas preguntas ayudan a decidir si corresponde a una función lineal o afín y a interpretar su comportamiento gráfico.
Las ecuaciones de rectas aparecen en situaciones con cambio constante, como tarifas con cobro fijo y costo por unidad, temperatura que varía uniformemente, distancia recorrida con velocidad constante o consumo acumulado de recursos.
Ejercicios
Ejercicio 1
En la ecuación \(y=3x-2\), identifica:
- la pendiente,
- la intersección con el eje \(y\).
\[ m=3 \qquad\text{y}\qquad n=-2 \]
Ejercicio 2
Indica si la función \(y=-4x\) es lineal o afín. Justifica.
Es una función lineal, porque tiene la forma \(y=mx\) y pasa por el origen.
Ejercicio 3
Indica si la función \(y=5x+1\) es lineal o afín. Justifica.
Es una función afín, porque tiene la forma \(y=mx+n\) con \(n\neq 0\).
Ejercicio 4
Escribe la ecuación de la recta que tiene pendiente 2 y corta al eje \(y\) en \(-3\).
\[ y=2x-3 \]
Ejercicio 5
Escribe la ecuación de la recta que tiene pendiente \(-1\) y corta al eje \(y\) en 5.
\[ y=-x+5 \]
Ejercicio 6
Observa la tabla y determina la ecuación de la recta.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | -1 | 1 | 3 | 5 |
La pendiente es 2, porque \(y\) aumenta en 2 cuando \(x\) aumenta en 1.
Como cuando \(x=0\), se tiene \(y=-1\), entonces:
\[ y=2x-1 \]
Ejercicio 7
En la expresión \(C(x)=7x+4\), interpreta el significado de 7 y de 4 en un contexto de costo.
El 7 representa el costo por cada unidad adicional.
El 4 representa un costo fijo inicial.
Ejercicio 8
Un estudiante dice: “Toda recta de la forma \(y=mx+n\) es lineal”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No.
Solo es lineal si \(n=0\). Si \(n\neq 0\), corresponde a una función afín.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
En la ecuación \(y=-2x+5\), la pendiente es:
- \(-2\)
- 5
- 2
- \(-5\)
Alternativa correcta: a
PAES 2
En la ecuación \(y=-2x+5\), la recta corta al eje \(y\) en:
- \(-2\)
- 0
- 5
- 7
Alternativa correcta: c
PAES 3
¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función lineal?
- \(y=3x+1\)
- \(y=-x+4\)
- \(y=2x\)
- \(y=5\)
Alternativa correcta: c
PAES 4
¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a una función afín?
- \(y=4x\)
- \(y=-3x\)
- \(y=x\)
- \(y=2x-1\)
Alternativa correcta: d
PAES 5
La recta con pendiente 3 e intersección con el eje \(y\) igual a \(-2\) tiene ecuación:
- \(y=-2x+3\)
- \(y=3x-2\)
- \(y=2x-3\)
- \(y=3x+2\)
Alternativa correcta: b
PAES 6
Si una recta tiene ecuación \(y=-x+4\), entonces su pendiente indica que la recta es:
- horizontal
- vertical
- creciente
- decreciente
Alternativa correcta: d
Cierre
En esta página estudiamos la ecuación de la recta en la forma \(y=mx+n\) y su relación con las funciones lineales y afines.
Vimos que la pendiente \(m\) describe la inclinación de la recta y que el coeficiente \(n\) indica dónde corta al eje \(y\).
En la siguiente clase trabajaremos con condiciones de paralelismo e intersección entre rectas, usando justamente estas ideas sobre pendiente y ecuación.
- \(y=mx+n\) es una forma importante de la ecuación de la recta.
- \(m\) es la pendiente.
- \(n\) es la intersección con el eje \(y\).
- \(y=mx\) es función lineal.
- \(y=mx+n\), con \(n\neq 0\), es función afín.