Rectas y circunferencias en el plano
2. Pendiente e interpretación
Pendiente e interpretación
En la clase anterior recordamos el plano cartesiano y la lectura geométrica de rectas. Ahora profundizaremos en una idea central: la pendiente.
La pendiente permite describir qué tan inclinada está una recta y, sobre todo, interpretar cómo cambia una variable respecto de otra.
Objetivo de la página
- Comprender la pendiente como medida de inclinación de una recta.
- Calcular la pendiente a partir de dos puntos.
- Interpretar el signo y el valor de la pendiente.
- Relacionar pendiente con rectas crecientes, decrecientes y horizontales.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular la pendiente usando coordenadas.
- Explicar qué significa una pendiente positiva, negativa o nula.
- Comparar rectas según su inclinación.
- Interpretar la pendiente en situaciones simples de cambio.
La pendiente de una recta se representa normalmente con la letra \(m\).
Si una recta pasa por dos puntos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\), su pendiente se calcula con:
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
Es decir:
\[ m=\frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} \]
- Si \(m>0\), la recta es creciente.
- Si \(m<0\), la recta es decreciente.
- Si \(m=0\), la recta es horizontal.
- Si la recta es vertical, su pendiente no está definida.
La pendiente indica cuánto cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta una unidad.
Por ejemplo, si \(m=2\), significa que por cada 1 unidad que avanza \(x\), la variable \(y\) aumenta 2 unidades.
No hay que restar “cruzado”.
Si en el numerador haces \(y_2-y_1\), en el denominador debes hacer \(x_2-x_1\), respetando el mismo orden.
Resumen conceptual
| Tipo de recta | Pendiente | Interpretación |
|---|---|---|
| Creciente | \(m>0\) | Sube al avanzar hacia la derecha |
| Decreciente | \(m<0\) | Baja al avanzar hacia la derecha |
| Horizontal | \(m=0\) | La altura no cambia |
| Vertical | No definida | No hay avance horizontal |
Ejemplo guiado 1: calcular la pendiente a partir de dos puntos
Consideremos los puntos \(A(1,1)\) y \(B(3,5)\).
Aplicamos la fórmula:
\[ m=\frac{5-1}{3-1}=\frac{4}{2}=2 \]
La pendiente es 2.
Esto significa que por cada 1 unidad que aumenta \(x\), la variable \(y\) aumenta 2 unidades.
Representación gráfica
Como la pendiente es positiva, la recta es creciente.
Ejemplo guiado 2: comparar pendientes
Comparemos las rectas:
\[ y=2x+1,\qquad y=\frac{1}{2}x+1,\qquad y=-x+1 \]
Comparación gráfica
- \(y=2x+1\) tiene pendiente \(m=2\): sube rápido.
- \(y=\frac{1}{2}x+1\) tiene pendiente \(m=\frac{1}{2}\): también sube, pero más lentamente.
- \(y=-x+1\) tiene pendiente \(m=-1\): baja al avanzar hacia la derecha.
Entonces, el valor absoluto de la pendiente también ayuda a describir qué tan inclinada está una recta.
Ejemplo guiado 3: pendiente nula
Consideremos la recta:
\[ y=3 \]
Representación gráfica
En esta recta, aunque \(x\) cambie, el valor de \(y\) se mantiene siempre en 3.
Por eso su pendiente es:
\[ m=0 \]
Geométricamente, es una recta horizontal.
Ejemplo guiado 4: pendiente no definida
Consideremos ahora una recta vertical, por ejemplo:
\[ x=2 \]
En una recta vertical, el valor de \(x\) no cambia.
Eso significa que el cambio horizontal es 0, y en la fórmula de la pendiente aparecería una división por cero:
\[ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{0} \]
Como no se puede dividir por 0, la pendiente de una recta vertical no está definida.
Ejemplo guiado 5: interpretación en contexto
Supongamos que el costo total \(C\), en miles de pesos, de cierta compra está dado por:
\[ C(x)=4x+3 \]
donde \(x\) representa la cantidad de artículos comprados.
La pendiente es 4.
Eso significa que por cada artículo adicional, el costo total aumenta en 4 miles de pesos.
El número 3 indica un costo inicial fijo.
Aquí la pendiente ya no solo se interpreta como inclinación geométrica, sino también como tasa de cambio.
Cuando veas una recta, puedes hacerte estas preguntas:
- ¿sube o baja?,
- ¿sube mucho o poco?,
- ¿se mantiene horizontal?,
- ¿es vertical?
Todas esas preguntas están relacionadas con la pendiente.
La pendiente puede representar velocidad, precio por unidad, variación de temperatura, altura ganada por unidad de recorrido y muchas otras tasas de cambio.
Ejercicios
Ejercicio 1
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A(2,1)\) y \(B(5,7)\).
\[ m=\frac{7-1}{5-2}=\frac{6}{3}=2 \]
Ejercicio 2
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A(-1,4)\) y \(B(3,2)\).
\[ m=\frac{2-4}{3-(-1)}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} \]
Ejercicio 3
Indica si una recta con pendiente \(m=3\) es creciente, decreciente, horizontal o vertical.
Como \(m>0\), es una recta creciente.
Ejercicio 4
Indica si una recta con pendiente \(m=-2\) es creciente, decreciente, horizontal o vertical.
Como \(m<0\), es una recta decreciente.
Ejercicio 5
¿Cuál es la pendiente de la recta \(y=5\)? Explica brevemente.
La pendiente es 0, porque es una recta horizontal y la altura no cambia.
Ejercicio 6
¿La recta \(x=-3\) tiene pendiente definida? Justifica.
No.
Es una recta vertical, por lo tanto su pendiente no está definida porque el cambio horizontal es 0.
Ejercicio 7
En una situación, la expresión \(y=6x+2\) modela el valor de una variable. Interpreta la pendiente en contexto.
La pendiente es 6, lo que significa que por cada unidad que aumenta \(x\), la variable \(y\) aumenta 6 unidades.
Ejercicio 8
Un estudiante dice: “Si una recta tiene pendiente pequeña, entonces siempre es decreciente”. ¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No.
Una pendiente pequeña puede ser positiva, por ejemplo \(m=0{,}2\), y en ese caso la recta sigue siendo creciente.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
La pendiente de la recta que pasa por \((1,2)\) y \((3,6)\) es:
- 1
- 2
- 3
- 4
\[ m=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2 \]
Alternativa correcta: b
PAES 2
Si una recta tiene pendiente negativa, entonces:
- sube al avanzar hacia la derecha
- baja al avanzar hacia la derecha
- es horizontal
- es vertical
Alternativa correcta: b
PAES 3
La recta \(y=4\) tiene pendiente:
- \(-4\)
- 0
- 1
- No definida
Alternativa correcta: b
PAES 4
¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente no definida?
- \(y=-2\)
- \(y=x+1\)
- \(x=5\)
- \(y=3x\)
Alternativa correcta: c
Cierre
En esta página estudiamos la pendiente como medida de inclinación y como tasa de cambio.
Vimos cómo calcularla a partir de dos puntos y cómo interpretar su signo y su valor en distintos tipos de rectas.
En la siguiente clase relacionaremos esta idea con la ecuación de la recta y su vínculo con la función lineal y afín.
- \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
- Si \(m>0\), la recta es creciente.
- Si \(m<0\), la recta es decreciente.
- Si \(m=0\), la recta es horizontal.
- Las rectas verticales no tienen pendiente definida.