La Función Logarítmica

4. Ecuaciones Exponenciales (Parte 1)

Ecuaciones Exponenciales (Parte 1: Igual Base)

¿Qué es una Ecuación Exponencial?

Una ecuación exponencial es aquella en la que la *incógnita* (generalmente "x") aparece en el *exponente*. Resolver una ecuación exponencial significa encontrar el valor (o valores) de la incógnita que hace que la igualdad sea verdadera.

Ejemplos:

\( 2^x = 8 \)
\( 3^{x-1} = 9 \)
\( 5^{2x} = 125 \)
\( 10^{x+2} = 0.01 \)

Ecuaciones Exponenciales con Igual Base

El tipo más sencillo de ecuación exponencial es aquel en el que podemos expresar *ambos lados* de la ecuación como potencias de la *misma base*. En este caso, la solución es muy directa.

Propiedad fundamental: Si \( b^m = b^n \) (y b > 0, b ≠ 1), entonces \( m = n \).

Es decir, si tenemos dos potencias *iguales* con la *misma base*, entonces sus *exponentes* deben ser iguales.

Ejemplo Resuelto Paso a Paso

Resolver: \( 3^{x+1} = 81 \)

Expresar ambos lados con la misma base: Observamos que 81 se puede expresar como una potencia de 3: \( 81 = 3^4 \). Entonces, la ecuación se convierte en: \[ 3^{x+1} = 3^4 \]
Igualar los exponentes: Como las bases son iguales (ambas son 3), los exponentes deben ser iguales: \[ x + 1 = 4 \]
Resolver la ecuación lineal resultante: \[ x = 4 - 1 \] \[ x = 3 \]
Verificar (opcional, pero recomendado): Sustituimos x = 3 en la ecuación original: \[ 3^{3+1} = 3^4 = 81 \] La solución es correcta.

Ejercicios

Ejercicio 1: Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

\( 2^x = 16 \)
\( 5^{x-2} = 25 \)
\( 3^{2x+1} = 27 \)
\( 4^{x} = \frac{1}{16} \)
\( 7^{x+3} = 1 \)

Ejercicio 2: Resuelve:

\( 2^{x+5} = 8^{x-1} \)
\( 9^{2x-1} = 3^{x+4} \)
\( (\frac{1}{2})^x = 4^{x+1} \)
\( 5^{x^2 - 2x} = 125 \)

Ejercicio 3: Resuelve:

\( 25^{x-1} = (\frac{1}{5})^{x+4} \)
\( 8^{x+1} = 16^{x-1} \)

Ejercicio 4: Resuelve la siguiente ecuacion cuadratica:

\( 3^{x^2-1} = 729 \)