ecuacion cuadratica
1. Introducción a la Ecuación Cuadrática
Introducción a la ecuación cuadrática
Objetivos de aprendizaje
- Reconocer qué es una ecuación cuadrática.
- Identificar su forma general y sus coeficientes.
- Comprender qué significa resolver una ecuación cuadrática.
- Relacionar este tipo de ecuaciones con situaciones matemáticas y reales.
Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica en la que la mayor potencia de la incógnita es 2.
Su forma general es:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, y se debe cumplir que \(a\neq 0\).
En la ecuación
\[ ax^2+bx+c=0, \]
cada término cumple una función:
- \(a\) es el coeficiente del término cuadrático \(x^2\),
- \(b\) es el coeficiente del término lineal \(x\),
- \(c\) es el término independiente.
Si \(a=0\), la ecuación deja de ser cuadrática y pasa a ser de otro tipo.
No toda expresión con una \(x^2\) es automáticamente una ecuación cuadrática completa. Para hablar de ecuación, debe haber una igualdad, y para que sea cuadrática, el mayor exponente de la incógnita debe ser 2.
¿Qué significa resolver una ecuación cuadrática?
Resolver una ecuación cuadrática significa encontrar los valores de \(x\) que hacen verdadera la igualdad.
Esos valores se llaman soluciones o raíces de la ecuación.
Dependiendo de la ecuación, puede ocurrir que tenga:
- dos soluciones reales distintas,
- una solución real doble,
- o ninguna solución real.
Más adelante estudiaremos cómo reconocer cada caso y qué información entrega el discriminante.
¿Dónde aparecen las ecuaciones cuadráticas?
Las ecuaciones cuadráticas aparecen en muchos temas de matemáticas y en situaciones del mundo real. Por ejemplo:
- en problemas de áreas y dimensiones,
- en trayectorias de objetos lanzados,
- en optimización de medidas, costos o ganancias,
- en relaciones numéricas entre suma, producto y diferencia.
Práctica guiada
En esta práctica no resolveremos ecuaciones. Solo aprenderemos a reconocer si una ecuación es cuadrática e identificar sus coeficientes.
Ejemplo 1: identificar \(a\), \(b\) y \(c\)
Observa la ecuación:
\[ 3x^2-2x+5=0 \]
La comparamos con la forma general:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
Entonces:
\[ a=3,\qquad b=-2,\qquad c=5 \]
El coeficiente de \(x\) incluye su signo. Por eso aquí \(b=-2\), no \(b=2\).
Ejemplo 2: reconocer si una ecuación es cuadrática
Observa la ecuación:
\[ 4x-7=0 \]
Nos preguntamos: ¿el mayor exponente de \(x\) es 2?
No. Aquí el mayor exponente de \(x\) es 1.
Por lo tanto, no es una ecuación cuadrática. Es una ecuación lineal.
Para que una ecuación sea cuadrática, el mayor exponente de la incógnita debe ser 2 y el coeficiente de \(x^2\) debe ser distinto de 0.
¿Qué estudiaremos después?
En las siguientes secciones veremos distintos caminos para trabajar con ecuaciones cuadráticas.
- Primero estudiaremos cómo se obtiene la fórmula cuadrática.
- Luego analizaremos el discriminante y el tipo de raíces.
- Después revisaremos métodos especiales según la forma de la ecuación.
La fórmula cuadrática permite resolver ecuaciones de la forma
\[ ax^2+bx+c=0, \]
pero en esta sección solo la presentamos como una herramienta importante del tema. Su demostración y uso sistemático se desarrollan en las páginas siguientes.
Parte A: encontrar \(a\), \(b\) y \(c\)
Ejercicio 1
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ 2x^2+5x-3=0 \]
Comparando con la forma general \(ax^2+bx+c=0\):
\[ a=2,\qquad b=5,\qquad c=-3 \]
Ejercicio 2
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ x^2-7x+4=0 \]
Recordemos que cuando no se escribe un coeficiente, vale 1.
\[ a=1,\qquad b=-7,\qquad c=4 \]
Ejercicio 3
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ -3x^2+8x=0 \]
Aunque no se vea término independiente, está presente como 0:
\[ a=-3,\qquad b=8,\qquad c=0 \]
Ejercicio 4
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ 4x^2-9=0 \]
Aquí no aparece término lineal, por lo tanto su coeficiente es 0:
\[ a=4,\qquad b=0,\qquad c=-9 \]
Ejercicio 5
Ordena la ecuación en la forma general e identifica \(a\), \(b\) y \(c\):
\[ 6-2x+x^2=0 \]
Primero ordenamos:
\[ x^2-2x+6=0 \]
Entonces:
\[ a=1,\qquad b=-2,\qquad c=6 \]
Parte B: reconocer la ecuación cuadrática
Ejercicio 6
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 5x+2=0 \]
No es una ecuación cuadrática.
Es una ecuación lineal, porque el mayor exponente de \(x\) es 1.
Ejercicio 7
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 3x^2-4x+1=0 \]
Sí es una ecuación cuadrática.
El mayor exponente de \(x\) es 2 y el coeficiente de \(x^2\) es distinto de 0.
Ejercicio 8
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ x^3-2x+1=0 \]
No es una ecuación cuadrática.
Es una ecuación cúbica, porque el mayor exponente de \(x\) es 3.
Ejercicio 9
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ -x^2+7=0 \]
Sí es una ecuación cuadrática.
El mayor exponente de \(x\) es 2 y el coeficiente del término cuadrático es \(-1\), que es distinto de 0.
Ejercicio 10
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 0x^2+4x-3=0 \]
No es una ecuación cuadrática.
Aunque aparece \(x^2\), su coeficiente es 0, así que en realidad queda:
\[ 4x-3=0 \]
Eso corresponde a una ecuación lineal.
Ejercicio 11
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 7-3x+x^2=0 \]
Primero la ordenamos:
\[ x^2-3x+7=0 \]
Sí es una ecuación cuadrática, porque el mayor exponente de \(x\) es 2.
Ejercicio 12
Completa la tabla mentalmente e indica cuáles de las siguientes expresiones son ecuaciones cuadráticas:
\[ x^2+1=0,\qquad 4x-9=0,\qquad 2x^2+3x=5,\qquad x^4-x=0 \]
Analizamos una por una:
- \(x^2+1=0\): sí es cuadrática.
- \(4x-9=0\): no, es lineal.
- \(2x^2+3x=5\): sí, porque puede escribirse como \(2x^2+3x-5=0\).
- \(x^4-x=0\): no, es de cuarto grado.
Comprender qué es una ecuación cuadrática, cómo reconocerla y qué representan sus coeficientes es el primer paso antes de estudiar sus métodos de resolución.