ecuacion cuadratica
5. Método para ecuaciones cuadráticas con \( c = 0 \)
Objetivo de aprendizaje
Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma \(ax^2+bx=0\) mediante factorización, aplicando correctamente la propiedad del producto cero e identificando sus soluciones.
Cuando el término constante es cero, la ecuación cuadrática toma una forma especial:
\[ ax^2+bx=0 \]
En este caso, ambos términos tienen factor común \(x\), por lo que la ecuación se puede resolver de manera directa usando factorización.
Las ecuaciones cuadráticas con \(c=0\) tienen la forma:
\[ ax^2+bx=0, \qquad a\ne 0 \]
Procedimiento para resolver
- Partimos de la ecuación:
\[ ax^2+bx=0 \]
- Factorizamos el factor común \(x\):
\[ x(ax+b)=0 \]
- Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x=0 \qquad \text{o} \qquad ax+b=0 \]
- Resolvemos la ecuación lineal:
\[ ax+b=0 \]
\[ ax=-b \]
\[ x=-\frac{b}{a} \]
Si una ecuación cuadrática tiene la forma \(ax^2+bx=0\), entonces sus soluciones son:
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{b}{a} \]
Un error muy común es resolver solo la ecuación \(ax+b=0\) y olvidar que el factor \(x\) también puede ser cero.
Por eso, al factorizar:
\[ x(ax+b)=0 \]
deben considerarse ambos factores.
La propiedad del producto cero dice que si el producto de dos factores es cero, entonces al menos uno de ellos debe ser cero.
Por eso, si
\[ x(ax+b)=0, \]
entonces necesariamente se cumple:
\[ x=0 \qquad \text{o} \qquad ax+b=0. \]
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: \(2x^2+4x=0\)
Paso 1: Escribimos la ecuación original:
\[ 2x^2+4x=0 \]
Paso 2: Factorizamos el factor común:
\[ 2x(x+2)=0 \]
Paso 3: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 2x=0 \qquad \text{o} \qquad x+2=0 \]
Paso 4: Resolvemos cada ecuación:
\[ 2x=0 \Rightarrow x=0 \]
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-2\).
Ejemplo 2: \(3x^2-9x=0\)
Paso 1: Escribimos la ecuación original:
\[ 3x^2-9x=0 \]
Paso 2: Factorizamos el factor común:
\[ 3x(x-3)=0 \]
Paso 3: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 3x=0 \qquad \text{o} \qquad x-3=0 \]
Paso 4: Resolvemos cada ecuación:
\[ 3x=0 \Rightarrow x=0 \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=3\).
¿Cuándo conviene usar este método?
- Cuando la ecuación cuadrática tiene término constante igual a cero.
- Cuando la expresión puede factorizarse sacando factor común \(x\).
- Cuando se busca una resolución rápida y directa sin usar fórmula general.
Si la ecuación es
\[ ax^2+bx=0, \]
entonces se factoriza como
\[ x(ax+b)=0 \]
y sus soluciones son
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{b}{a}. \]
Las ecuaciones cuadráticas con \(c=0\) son un caso especial muy importante, porque permiten resolver mediante factorización sin necesidad de usar procedimientos más largos. Reconocer esta forma ayuda a ganar rapidez y seguridad al resolver.
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método para \( c=0 \):
Ejercicio 1
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+7x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común \(x\):
\[ x(x+7)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x=0 \quad \text{o} \quad x+7=0 \]
Paso 3: Resolvemos la segunda ecuación:
\[ x=-7 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-7\).
Ejercicio 2
Resuelve la ecuación:
\[ x^2-5x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común \(x\):
\[ x(x-5)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x=0 \quad \text{o} \quad x-5=0 \]
Paso 3: Resolvemos la segunda ecuación:
\[ x=5 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=5\).
Ejercicio 3
Resuelve la ecuación:
\[ 4x^2+8x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 4x(x+2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 4x=0 \quad \text{o} \quad x+2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=-2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-2\).
Ejercicio 4
Resuelve la ecuación:
\[ 3x^2-6x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 3x(x-2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 3x=0 \quad \text{o} \quad x-2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=2\).
Ejercicio 5
Resuelve la ecuación:
\[ 5x^2+10x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 5x(x+2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 5x=0 \quad \text{o} \quad x+2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=-2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-2\).
Ejercicio 6
Resuelve la ecuación:
\[ 2x^2-4x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 2x(x-2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 2x=0 \quad \text{o} \quad x-2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=2\).
Ejercicio 7
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+9x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común \(x\):
\[ x(x+9)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x=0 \quad \text{o} \quad x+9=0 \]
Paso 3: Resolvemos la segunda ecuación:
\[ x=-9 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-9\).
Ejercicio 8
Resuelve la ecuación:
\[ 6x^2-12x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 6x(x-2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 6x=0 \quad \text{o} \quad x-2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=2\).
Ejercicio 9
Resuelve la ecuación:
\[ 7x^2+14x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 7x(x+2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 7x=0 \quad \text{o} \quad x+2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=-2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-2\).
Ejercicio 10
Resuelve la ecuación:
\[ 8x^2-16x=0 \]
Paso 1: Factorizamos el factor común:
\[ 8x(x-2)=0 \]
Paso 2: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 8x=0 \quad \text{o} \quad x-2=0 \]
Paso 3: Resolvemos cada caso:
\[ x=0 \]
\[ x=2 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=2\).
En las ecuaciones cuadráticas de la forma \(ax^2+bx=0\), siempre aparece el factor común \(x\). Por eso, una de las soluciones será \(x=0\), y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal que queda después de factorizar.