Cálculo de Varianza y Desviación Estándar para Datos Agrupados

Repaso

La varianza (\(s^2\) o \(\sigma^2\)) y la desviación estándar (\(s\) o \(\sigma\)) miden la dispersión. Para datos agrupados, usamos fórmulas específicas.

Marca de Clase (\(x_i\))

Usamos la marca de clase (punto medio) como representante de cada intervalo:

Fórmula: \( x_i = \frac{\text{Límite Inferior} + \text{Límite Superior}}{2} \)

Fórmulas (Datos Agrupados)

Media (muestral): \[ \bar{x} = \frac{\sum f_i \cdot x_i}{n} \]

Varianza (muestra): \[ s^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \]

Desviación Estándar (muestra): \[ s = \sqrt{s^2} \]

Varianza (población): \[ \sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \mu)^2}{n} \]

Desviación Estándar (población): \[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

(Ver página anterior para la definición de cada símbolo).

Cálculo Paso a Paso (Ejemplo)

Datos: Alturas (cm) de 40 estudiantes:

Tabla de Cálculo (iremos completándola paso a paso):

1. Calcular la marca de clase (\(x_i\)):

   Completamos la columna \(x_i\) de la tabla:

   Intervalo	\(x_i\)	\(f_i\)	\(f_i \cdot x_i\)	\(x_i - \bar{x}\)	\((x_i - \bar{x})^2\)	\(f_i(x_i - \bar{x})^2\)
   150 - 159	154.5	5
   160 - 169	164.5	12
   170 - 179	174.5	15
   180 - 189	184.5	8
   Total		40

2. Calcular la media ponderada (\(\bar{x}\)):

   Completamos la columna \(f_i \cdot x_i\) y calculamos la media:

   Intervalo	\(x_i\)	\(f_i\)	\(f_i \cdot x_i\)	\(x_i - \bar{x}\)	\((x_i - \bar{x})^2\)	\(f_i(x_i - \bar{x})^2\)
   150 - 159	154.5	5	772.5
   160 - 169	164.5	12	1974
   170 - 179	174.5	15	2617.5
   180 - 189	184.5	8	1476
   Total		40	6840

   \[ \bar{x} = \frac{6840}{40} = 171 \]
3. Calcular las desviaciones (\(x_i - \bar{x}\)):

   Completamos la columna \(x_i - \bar{x}\):

   Intervalo	\(x_i\)	\(f_i\)	\(f_i \cdot x_i\)	\(x_i - \bar{x}\)	\((x_i - \bar{x})^2\)	\(f_i(x_i - \bar{x})^2\)
   150 - 159	154.5	5	772.5	-16.5
   160 - 169	164.5	12	1974	-6.5
   170 - 179	174.5	15	2617.5	3.5
   180 - 189	184.5	8	1476	13.5
   Total		40	6840

4. Elevar al cuadrado las desviaciones (\((x_i - \bar{x})^2\)):

   Completamos la columna \((x_i - \bar{x})^2\):

   Intervalo	\(x_i\)	\(f_i\)	\(f_i \cdot x_i\)	\(x_i - \bar{x}\)	\((x_i - \bar{x})^2\)	\(f_i(x_i - \bar{x})^2\)
   150 - 159	154.5	5	772.5	-16.5	272.25
   160 - 169	164.5	12	1974	-6.5	42.25
   170 - 179	174.5	15	2617.5	3.5	12.25
   180 - 189	184.5	8	1476	13.5	182.25
   Total		40	6840

5. Multiplicar por la frecuencia y sumar (\(\sum f_i(x_i - \bar{x})^2\)):

   Completamos la última columna y sumamos:

   Intervalo	\(x_i\)	\(f_i\)	\(f_i \cdot x_i\)	\(x_i - \bar{x}\)	\((x_i - \bar{x})^2\)	\(f_i(x_i - \bar{x})^2\)
   150 - 159	154.5	5	772.5	-16.5	272.25	1361.25
   160 - 169	164.5	12	1974	-6.5	42.25	507
   170 - 179	174.5	15	2617.5	3.5	12.25	183.75
   180 - 189	184.5	8	1476	13.5	182.25	1458
   Total		40	6840			3510

6. Dividir por n-1 (muestra) o n (población) para obtener la varianza:

   Usaremos n-1 (muestra):

   Varianza (\(s^2\)) = 3510 / (40 - 1) = 3510 / 39 ≈ 90
7. Calcular la raíz cuadrada de la varianza para la desviación estándar: Desviación Estándar (\(s\)) = \(\sqrt{90} \approx 9.49\) cm

Resultado: Varianza muestral ≈ 90 cm², Desviación estándar muestral ≈ 9.49 cm.

Uso de Calculadora/Software

Las calculadoras y hojas de cálculo pueden calcular la desviación estándar para datos agrupados, pero es importante entender el proceso manual.

Ejercicios y Problemas

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