Otros Ángulos en la Circunferencia (y relación con cuerdas)

Repaso: Ángulos Central e Inscrito

Recordemos que un ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y un ángulo inscrito tiene su vértice en la circunferencia.

Ángulo Semi-inscrito

Un ángulo semi-inscrito tiene su vértice en la circunferencia, un lado es una cuerda y el otro lado es una tangente a la circunferencia en el punto donde se encuentra el vértice.

Teorema: La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.

(Insertar imagen en Moodle: Circunferencia, ángulo semi-inscrito, arco correspondiente claramente marcado).

Ejemplo: Si el arco comprendido entre los lados de un ángulo semi-inscrito mide 100°, entonces el ángulo semi-inscrito mide 50°.

Ángulo Interior

Un ángulo interior es un ángulo formado por dos cuerdas que se cortan *dentro* de la circunferencia.

(Insertar imagen en Moodle: Circunferencia, dos cuerdas que se cortan dentro, ángulo interior marcado).

Teorema: La medida de un ángulo interior es igual a la *semisuma* de las medidas de los arcos interceptados por el ángulo y por su ángulo verticalmente opuesto.

\[ \angle AEB = \frac{1}{2} (\stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{CD}) \]

(Insertar imagen en Moodle: misma figura, con los arcos AB y CD marcados).

Ejemplo: Si el arco AB mide 80° y el arco CD mide 40°, entonces el ángulo interior AEB mide (80° + 40°) / 2 = 60°.

Ángulo Exterior

Un ángulo exterior es un ángulo formado por:

• Dos secantes que se cortan *fuera* de la circunferencia.
• Dos tangentes que se cortan *fuera* de la circunferencia.
• Una secante y una tangente que se cortan *fuera* de la circunferencia.

(Insertar en Moodle *tres* imágenes separadas, una para cada caso: dos secantes, dos tangentes, una secante y una tangente).

Teorema: La medida de un ángulo exterior es igual a la *semidiferencia* de las medidas de los arcos interceptados.

\[ \angle A = \frac{1}{2} (\stackrel{\frown}{BC} - \stackrel{\frown}{DE}) \]

(Insertar imagen en Moodle: circunferencia, ángulo exterior A formado por dos secantes, arcos BC (mayor) y DE (menor) marcados).

Ejemplo: Si el arco mayor BC mide 110° y el arco menor DE mide 30°, entonces el ángulo exterior A mide (110° - 30°) / 2 = 40°.

Teorema de la Intersección de Dos Cuerdas

Si dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en un punto P (interior a la circunferencia), se cumple que:

\[ PA \cdot PB = PC \cdot PD \]

Ejemplo: Si dos cuerdas, AB y CD, se intersectan en un punto P dentro de una circunferencia, y se sabe que PA = 8, PB = 3 y PC = 4, podemos encontrar la longitud de PD utilizando el Teorema de la Intersección de Dos Cuerdas. El teorema establece que \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \). Dado que PA = 8, PB = 3 y PC = 4, podemos sustituir estos valores en la ecuación: \(8 \cdot 3 = 4 \cdot PD \) \(24 = 4 \cdot PD \) \( PD = 6\)

Ejercicios

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