Logaritmos
2. Casos Fundamentales del Logaritmo
Objetivo de aprendizaje
Reconocer y aplicar los casos básicos de logaritmos que se derivan directamente de la definición y permiten calcular valores de forma inmediata.
Los casos fundamentales provienen directamente de la definición:
\[ \log_a(c)=b \iff a^b=c \]
\[ \log_a(1)=0 \]
Porque: \[ a^0=1 \]
\[ \log_a(a)=1 \]
Porque: \[ a^1=a \]
\[ \log_a\left(\frac{1}{a}\right)=-1 \]
Porque: \[ a^{-1}=\frac{1}{a} \]
Todos estos resultados se obtienen aplicando la definición de logaritmo y recordando propiedades de las potencias:
- \(a^0=1\)
- \(a^1=a\)
- \(a^{-1}=\frac{1}{a}\)
Ejemplo 1
\[ \log_7(1)=0 \]
Porque:
\[ 7^0=1 \]
Ejemplo 2
\[ \log_3(3)=1 \]
Porque:
\[ 3^1=3 \]
Ejemplo 3
\[ \log_5\left(\frac{1}{5}\right)=-1 \]
Porque:
\[ 5^{-1}=\frac{1}{5} \]
Ejercicio 1
Calcula:
\(\log_2(1)\)
\(\log_9(9)\)
\(\log_4\left(\frac{1}{4}\right)\)
\(\log_2(1)=0\)
\(\log_9(9)=1\)
\(\log_4\left(\frac{1}{4}\right)=-1\)
Ejercicio 2
Completa:
\(\log_6(1)=\_\_\_\_\)
\(\log_8(8)=\_\_\_\_\)
\(\log_3\left(\frac{1}{3}\right)=\_\_\_\_\)
\(\log_6(1)=0\)
\(\log_8(8)=1\)
\(\log_3\left(\frac{1}{3}\right)=-1\)
Estos casos solo funcionan si se cumplen las condiciones del logaritmo:
- Base positiva y distinta de 1
- Argumento positivo
Los casos fundamentales permiten resolver rápidamente muchos logaritmos sin aplicar propiedades más complejas.