Logaritmos
3. Propiedad del Producto
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la propiedad del producto de los logaritmos para transformar el logaritmo de una multiplicación en una suma de logaritmos.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\) y \(c>0\), entonces:
\[ \log_a(bc)=\log_a(b)+\log_a(c) \]
El logaritmo de un producto se puede separar como una suma de logaritmos, siempre que ambos factores sean positivos.
Esta propiedad permite simplificar expresiones y también desarrollar cálculos paso a paso con mayor claridad.
Cuando dentro del logaritmo hay una multiplicación, afuera aparece una suma.
\[ \log_a(bc)\rightarrow \log_a(b)+\log_a(c) \]
Esta propiedad sirve para el producto, no para la suma.
En general:
\[ \log_a(b+c)\neq \log_a(b)+\log_a(c) \]
Ejemplo 1: aplicación directa
Simplifiquemos:
\[ \log_2(8\cdot 4) \]
Aplicamos la propiedad del producto:
\[ \log_2(8\cdot 4)=\log_2(8)+\log_2(4) \]
Ahora calculamos cada logaritmo:
\[ \log_2(8)=3 \qquad \log_2(4)=2 \]
Entonces:
\[ \log_2(8\cdot 4)=3+2=5 \]
Ejemplo 2: usando letras
Simplifiquemos:
\[ \log_a(xy) \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y) \]
Esta igualdad es válida solo si \(x>0\) e \(y>0\).
Ejemplo 3: verificación con potencias
Observemos:
\[ \log_3(9\cdot 27)=\log_3(243) \]
Como \(243=3^5\), se tiene:
\[ \log_3(243)=5 \]
Por la propiedad del producto:
\[ \log_3(9)+\log_3(27)=2+3=5 \]
Se obtiene el mismo resultado.
Ejercicio 1
Aplica la propiedad del producto y calcula:
\(\log_2(2\cdot 8)\)
\(\log_5(5\cdot 25)\)
\(\log_3(3\cdot 9)\)
\[ \log_2(2\cdot 8)=\log_2(2)+\log_2(8)=1+3=4 \]
\[ \log_5(5\cdot 25)=\log_5(5)+\log_5(25)=1+2=3 \]
\[ \log_3(3\cdot 9)=\log_3(3)+\log_3(9)=1+2=3 \]
Ejercicio 2
Reescribe usando suma de logaritmos:
\(\log_a(mn)\)
\(\log_7(xy)\)
\(\log_b(uv)\)
\[ \log_a(mn)=\log_a(m)+\log_a(n) \]
\[ \log_7(xy)=\log_7(x)+\log_7(y) \]
\[ \log_b(uv)=\log_b(u)+\log_b(v) \]
Ejercicio 3
Decide si la transformación es correcta o incorrecta:
\(\log_4(2\cdot 8)=\log_4(2)+\log_4(8)\)
\(\log_6(3+2)=\log_6(3)+\log_6(2)\)
La primera transformación es correcta, porque corresponde a un producto.
La segunda transformación es incorrecta, porque la propiedad no se aplica a una suma.
La propiedad del producto transforma multiplicaciones en sumas de logaritmos. Es una de las herramientas más importantes para simplificar expresiones logarítmicas.