Logaritmos
4. Propiedad del Cociente
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la propiedad del cociente de los logaritmos para transformar el logaritmo de una división en una resta de logaritmos.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\) y \(c>0\), entonces:
\[ \log_a\left(\frac{b}{c}\right)=\log_a(b)-\log_a(c) \]
El logaritmo de un cociente se puede separar como una resta de logaritmos, siempre que el numerador y el denominador sean positivos.
Esta propiedad permite descomponer expresiones y simplificar cálculos paso a paso.
Cuando dentro del logaritmo hay una división, afuera aparece una resta.
\[ \log_a\left(\frac{b}{c}\right)\rightarrow \log_a(b)-\log_a(c) \]
Para aplicar esta propiedad, tanto \(b\) como \(c\) deben ser positivos.
Además, \(c\neq 0\), porque no se puede dividir por cero.
Ejemplo 1: aplicación directa
Simplifiquemos:
\[ \log_2\left(\frac{8}{4}\right) \]
Aplicamos la propiedad del cociente:
\[ \log_2\left(\frac{8}{4}\right)=\log_2(8)-\log_2(4) \]
Ahora calculamos cada logaritmo:
\[ \log_2(8)=3 \qquad \log_2(4)=2 \]
Entonces:
\[ \log_2\left(\frac{8}{4}\right)=3-2=1 \]
Ejemplo 2: usando letras
Simplifiquemos:
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y) \]
Esta igualdad es válida solo si \(x>0\) e \(y>0\).
Ejemplo 3: consecuencia útil
A partir de la propiedad del cociente, se cumple que:
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y) \]
y también:
\[ \log_a\left(\frac{y}{x}\right)=\log_a(y)-\log_a(x) \]
Por lo tanto:
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=-\log_a\left(\frac{y}{x}\right) \]
Ejercicio 1
Aplica la propiedad del cociente y calcula:
\(\log_2\left(\frac{8}{2}\right)\)
\(\log_5\left(\frac{25}{5}\right)\)
\(\log_3\left(\frac{27}{9}\right)\)
\[ \log_2\left(\frac{8}{2}\right)=\log_2(8)-\log_2(2)=3-1=2 \]
\[ \log_5\left(\frac{25}{5}\right)=\log_5(25)-\log_5(5)=2-1=1 \]
\[ \log_3\left(\frac{27}{9}\right)=\log_3(27)-\log_3(9)=3-2=1 \]
Ejercicio 2
Reescribe usando resta de logaritmos:
\(\log_a\left(\frac{m}{n}\right)\)
\(\log_7\left(\frac{x}{y}\right)\)
\(\log_b\left(\frac{u}{v}\right)\)
\[ \log_a\left(\frac{m}{n}\right)=\log_a(m)-\log_a(n) \]
\[ \log_7\left(\frac{x}{y}\right)=\log_7(x)-\log_7(y) \]
\[ \log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_b(u)-\log_b(v) \]
Ejercicio 3
Completa:
\(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\(\log_a\left(\frac{y}{x}\right)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\(-\log_a\left(\frac{y}{x}\right)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y) \]
\[ \log_a\left(\frac{y}{x}\right)=\log_a(y)-\log_a(x) \]
\[ -\log_a\left(\frac{y}{x}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)=\log_a\left(\frac{x}{y}\right) \]
La propiedad del cociente transforma divisiones en restas de logaritmos. Junto con la propiedad del producto, permite reescribir muchas expresiones de forma más simple y ordenada.