Logaritmos
7. Cambio de Base
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la propiedad de cambio de base para reescribir logaritmos en una base más conveniente y simplificar cálculos.
A veces un logaritmo está escrito en una base poco cómoda para calcularlo directamente. En esos casos, se puede transformar a otra base equivalente.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\), \(c>0\) y \(c\neq 1\), entonces:
\[ \log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \]
Aquí, \(c\) es una nueva base que elegimos para reescribir el logaritmo.
Esta propiedad permite expresar un logaritmo en otra base más conocida o más fácil de trabajar.
Por ejemplo, se puede cambiar a base \(10\) o a base \(e\), según convenga.
Usando base \(10\):
\[ \log_a(b)=\frac{\log(b)}{\log(a)} \]
donde \(\log\) representa el logaritmo decimal.
También se cumple:
\[ \log_a(b)=\frac{1}{\log_b(a)} \]
En el cambio de base, la nueva base \(c\) también debe cumplir las condiciones del logaritmo:
- \(c>0\)
- \(c\neq 1\)
Además, no se debe olvidar que el argumento sigue siendo positivo.
Ejemplo 1: cambio a base 10
Reescribamos:
\[ \log_2(8) \]
Aplicamos cambio de base con \(c=10\):
\[ \log_2(8)=\frac{\log(8)}{\log(2)} \]
Sabemos que el valor del logaritmo es \(3\), porque:
\[ 2^3=8 \]
Por lo tanto:
\[ \frac{\log(8)}{\log(2)}=3 \]
Ejemplo 2: cambio de base general
Reescribamos:
\[ \log_4(7) \]
Usamos cambio de base con \(c=10\):
\[ \log_4(7)=\frac{\log(7)}{\log(4)} \]
Esta forma permite calcular el valor con calculadora.
Ejemplo 3: propiedad recíproca
Observemos:
\[ \log_2(8)=3 \]
Entonces:
\[ \log_8(2)=\frac{1}{3} \]
Esto coincide con:
\[ \log_a(b)=\frac{1}{\log_b(a)} \]
ya que:
\[ \log_2(8)=\frac{1}{\log_8(2)} \]
Ejercicio 1
Reescribe usando cambio de base decimal:
\(\log_3(5)\)
\(\log_7(2)\)
\(\log_4(11)\)
\[ \log_3(5)=\frac{\log(5)}{\log(3)} \]
\[ \log_7(2)=\frac{\log(2)}{\log(7)} \]
\[ \log_4(11)=\frac{\log(11)}{\log(4)} \]
Ejercicio 2
Aplica la propiedad:
\(\log_2(5)=\dfrac{1}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\)
\(\log_3(9)=\dfrac{1}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\)
\(\log_a(b)=\dfrac{1}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\)
\[ \log_2(5)=\frac{1}{\log_5(2)} \]
\[ \log_3(9)=\frac{1}{\log_9(3)} \]
\[ \log_a(b)=\frac{1}{\log_b(a)} \]
Ejercicio 3
Calcula usando cambio de base o razonamiento directo:
\(\log_2(8)\)
\(\log_9(3)\)
\(\log_5(25)\)
\[ \log_2(8)=3 \]
\[ \log_9(3)=\frac{1}{2} \]
\[ \log_5(25)=2 \]
El cambio de base permite transformar un logaritmo a otra base equivalente. Es una herramienta muy útil para calcular, comparar y simplificar expresiones logarítmicas.