Logaritmos
11. Errores Frecuentes y Restricciones
Objetivo de aprendizaje
Reconocer las restricciones de existencia de los logaritmos y evitar errores frecuentes al aplicar sus propiedades.
Para que \(\log_a(x)\) exista en los números reales, deben cumplirse estas condiciones:
\[ a>0,\qquad a\neq 1,\qquad x>0 \]
- La base debe ser positiva.
- La base no puede ser \(1\), porque \(1^n=1\) para todo exponente y no permite definir un logaritmo útil.
- El argumento debe ser positivo.
Las siguientes expresiones no existen en los números reales:
\[ \log_2(-3) \]
\[ \log_{-4}(7) \]
\[ \log_1(9) \]
Estas igualdades son falsas en general:
\[ \log_a(x+y)\neq \log_a(x)+\log_a(y) \]
\[ \log_a(x-y)\neq \log_a(x)-\log_a(y) \]
Las propiedades correctas son para:
- producto,
- cociente,
- potencia.
- Primero revisa si la base y el argumento cumplen las restricciones.
- Después identifica qué operación aparece dentro del logaritmo.
- Aplica propiedades solo si hay producto, cociente o potencia.
- No inventes propiedades para sumas o restas.
Ejemplo 1: argumento negativo
Analicemos:
\[ \log_3(-9) \]
Esta expresión no existe en \(\mathbb{R}\), porque el argumento del logaritmo es negativo.
En efecto, no existe ningún número real \(x\) tal que:
\[ 3^x=-9 \]
ya que una potencia de base positiva nunca da un resultado negativo.
Ejemplo 2: base negativa
Analicemos:
\[ \log_{-2}(8) \]
Esta expresión no se considera definida en los números reales dentro del estudio usual de logaritmos, porque la base debe ser positiva.
Ejemplo 3: una igualdad falsa
Revisemos si es cierto que:
\[ \log_2(2+2)=\log_2(2)+\log_2(2) \]
Lado izquierdo:
\[ \log_2(4)=2 \]
Lado derecho:
\[ \log_2(2)+\log_2(2)=1+1=2 \]
En este caso particular da el mismo resultado, pero eso ocurre por coincidencia numérica.
Ejemplo 4: por qué no es una propiedad
Probemos con otro ejemplo:
\[ \log_2(2+6)\stackrel{?}{=}\log_2(2)+\log_2(6) \]
Lado izquierdo:
\[ \log_2(8)=3 \]
Lado derecho:
\[ \log_2(2)+\log_2(6)=1+\log_2(6) \]
Como \(\log_2(6)\neq 2\), el resultado no es \(3\).
Por lo tanto:
\[ \log_2(2+6)\neq \log_2(2)+\log_2(6) \]
Ejercicio 1
Indica si cada logaritmo existe o no existe en \(\mathbb{R}\):
\(\log_4(16)\)
\(\log_2(-5)\)
\(\log_{-3}(9)\)
\(\log_1(7)\)
\(\log_4(16)\) sí existe, porque la base es positiva, distinta de 1, y el argumento es positivo.
\(\log_2(-5)\) no existe en \(\mathbb{R}\), porque el argumento es negativo.
\(\log_{-3}(9)\) no existe en el estudio usual de logaritmos reales, porque la base es negativa.
\(\log_1(7)\) no existe, porque la base no puede ser 1.
Ejercicio 2
Decide si cada igualdad es correcta o incorrecta:
\(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
\(\log_a(x+y)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
\(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)\)
\(\log_a(x-y)=\log_a(x)-\log_a(y)\)
\(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\) es correcta.
\(\log_a(x+y)=\log_a(x)+\log_a(y)\) es incorrecta.
\(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)\) es correcta.
\(\log_a(x-y)=\log_a(x)-\log_a(y)\) es incorrecta.
Ejercicio 3
Explica cuál es el error en cada caso:
\(\log_3(5+4)=\log_3(5)+\log_3(4)\)
\(\log_{-2}(8)=3\)
\(\log_7(0)\)
En \(\log_3(5+4)=\log_3(5)+\log_3(4)\), el error es aplicar una propiedad a una suma. Esa propiedad no existe.
En \(\log_{-2}(8)=3\), el error es usar una base negativa. La base de un logaritmo real debe ser positiva.
\(\log_7(0)\) no existe en \(\mathbb{R}\), porque el argumento debe ser estrictamente positivo.
Antes de aplicar propiedades, siempre conviene revisar si el logaritmo existe. Respetar las restricciones y evitar propiedades falsas es clave para trabajar correctamente con logaritmos.