Relaciones Métricas con Cuerdas, Secantes y Tangentes

2. Teorema de las Secantes y de la Secante-Tangente

Teorema de las Secantes y de la Secante-Tangente

Teorema de las Secantes

Teorema: Si desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos rectas secantes, que intersectan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D (como se muestra en la figura), entonces el producto de las longitudes de los segmentos desde P hasta los puntos de intersección de una secante es igual al producto de las longitudes de los segmentos desde P hasta los puntos de intersección de la otra secante.

(Insertar en Moodle una imagen: Circunferencia, punto P exterior, dos secantes PAB y PCD. Etiquetar claramente los segmentos PA, PB, PC y PD).

En la figura, se cumple:

\[ PA \cdot PB = PC \cdot PD \]

Ejemplo: Si PA = 10, PB = 4, y PC = 5, entonces 10 * 4 = 5 * PD => PD = 8.

Demostración: (En Moodle, insertar imágenes para cada paso de la demostración).

Dibujar los triángulos: Considera una circunferencia y un punto externo P. Dibuja dos rectas secantes PAB y PCD a la circunferencia. Dibuja los segmentos AD y BC para formar los triángulos PAD y PCB.
Ángulos inscritos y ángulos comunes: Observa que ∠DAB y ∠DCB son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco DB. Por el teorema del ángulo inscrito, ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales. Además, ∠DPA es un ángulo común a ambos triángulos. Por lo tanto:
- ∠PAD = ∠PCB
- ∠DPA es común
Semejanza de triángulos: Los triángulos PAD y PCB tienen dos ángulos iguales. Por el criterio de semejanza AA (ángulo-ángulo), estos triángulos son semejantes.
ΔPAD ∼ ΔPCB
Proporcionalidad de lados: Dado que los triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales. En particular: \[\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB} \]
Producto cruzado: Multiplicando cruzado en la proporción anterior, obtenemos: \[ PA \cdot PB = PC \cdot PD \] Que es lo que queríamos demostrar.

Teorema de la Secante y la Tangente

Existe un teorema relacionado que involucra una secante y una tangente trazadas desde el mismo punto exterior:

Teorema:Si desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan una recta secante PAB y una recta tangente PT (donde T es el punto de tangencia), entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes de los segmentos desde P hasta los puntos de intersección de la secante.

(Insertar en Moodle una imagen: Circunferencia, punto P exterior, secante PAB, tangente PT. Etiquetar los segmentos PA, PB y PT).

En la figura, se cumple:

\[ PT^2 = PA \cdot PB \]

Ejemplo: Si PA = 9, PB = 4, entonces PT² = 9*4 PT= 6

Demostración: (En Moodle, insertar imágenes para cada paso de la demostración).

Dibujar los triángulos: Considera una circunferencia, un punto externo P, una secante PAB y una tangente PT a la circunferencia en el punto T. Dibuja los segmentos TA y TB para formar los triángulos PTA y PTB.
Ángulos inscritos y ángulos semi-inscritos:
- El ∠PTA es un ángulo semi-inscrito que subtiende el arco TA.
- El ∠PBT es un ángulo inscrito que subtiende el arco TA.
Por lo tanto, por el teorema del ángulo inscrito y semi-inscrito, ambos ángulos son iguales (miden la mitad del arco TA).
Además, ∠TPB es un ángulo común a ambos triángulos.
Por lo tanto:
- ∠PTA = ∠PBT
- ∠TPB es común
Semejanza de triángulos: Los triángulos PTA y PTB tienen dos ángulos iguales. Por el criterio de semejanza AA (ángulo-ángulo), estos triángulos son semejantes.
ΔPTA ∼ ΔPBT
Proporcionalidad de lados: Dado que los triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales. En particular: \[ \frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT} \]
Producto cruzado: Multiplicando cruzado en la proporción anterior, obtenemos: \[ PT^2 = PA \cdot PB \] Que es lo que queríamos demostrar.

Potencia de un Punto (Exterior)

El concepto de *potencia de un punto* también se aplica cuando el punto P está *fuera* de la circunferencia. En este caso, la potencia de P es igual al producto PA * PB, donde PAB es una secante cualquiera que pasa por P. Y si PT es una tangente desde P, entonces la potencia de P también es igual a PT².

Ejercicios

Ejercicio 1: (Insertar imagen en Moodle: circunferencia, punto exterior P, dos secantes PAB y PCD, con algunas longitudes dadas y una incógnita).

En la figura, calcula el valor de x.

Ejercicio 2: (Insertar imagen en Moodle: circunferencia, punto exterior P, secante PAB y tangente PT, con algunas longitudes dadas y una incógnita).

En la figura, calcula el valor de x.

Ejercicio 3: Desde un punto P exterior a una circunferencia, se trazan dos secantes. La primera secante corta a la circunferencia en A y B, con PA = 4 y AB = 5. La segunda secante corta a la circunferencia en C y D, con PD = 12. Calcula PC.

Ejercicio 4: Desde un punto P exterior a una circunferencia, se traza una tangente PT de longitud 6 cm, y una secante PAB, con PA = 4 cm. Calcula la longitud de PB.