Relaciones Métricas con Cuerdas, Secantes y Tangentes
3. Teorema de la Tangente
Teorema de la Tangente
Repaso: Tangente y Secante desde un Punto Exterior
Recordemos:
- Una *tangente* a una circunferencia es una recta que toca la circunferencia en un solo punto (punto de tangencia).
- Una *secante* a una circunferencia es una recta que corta la circunferencia en dos puntos.
Si trazamos una tangente y una secante a una circunferencia desde el *mismo punto exterior*, se cumple una relación métrica importante.
Teorema de la Tangente y la Secante
Teorema: Si desde un punto P exterior a una circunferencia se traza una recta tangente PT (donde T es el punto de tangencia) y una recta secante PAB, entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes de los segmentos desde P hasta los puntos de intersección de la secante.
(Insertar en Moodle una imagen: Circunferencia, punto P exterior, tangente PT, secante PAB. Etiquetar los segmentos PA, PB y PT).
En la figura, se cumple:
\[ PT^2 = PA \cdot PB \]
Ejemplo: Si PT = 6 y PA = 4, entonces 6² = 4 * PB => 36 = 4 * PB => PB = 9.
Este teorema ya se presentó y demostró en la página anterior, ahora lo reforzaremos.
Ejercicios
Ejercicio 1: (Insertar imagen en Moodle: circunferencia, punto exterior P, tangente PT, secante PAB, con algunas longitudes dadas y una incógnita).
En la figura, calcula el valor de x.
Ejercicio 2: Desde un punto P exterior a una circunferencia, se traza una tangente PT de longitud 8 cm. También se traza una secante PAB, donde PA = 4 cm. Calcula la longitud de PB.
Ejercicio 3: Desde un punto P exterior a una circunferencia, se traza una tangente PT y una secante PAB. Si PT = x, PA = x - 2, y PB = x + 2, encuentra el valor de x.
Ejercicio 4: (Insertar imagen en Moodle: circunferencia, punto exterior P, tangente PT, secante PAB. Dar *solo* las longitudes de *algunos* segmentos, de tal manera que los estudiantes tengan que *deducir* la longitud de otro segmento antes de aplicar el teorema. Por ejemplo, dar PA y AB, pero no PB directamente).
En la figura, calcula el valor de x.
Ejercicio 5: (Insertar en Moodle una imagen con *varias* tangentes y secantes trazadas desde el mismo punto exterior, con diferentes longitudes dadas e incógnitas. El objetivo es que los estudiantes apliquen el teorema *varias veces* en la misma figura).
En la figura, calcula los valores de x, y, z, ... (según las incógnitas que se hayan definido en la imagen).
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