Capitulo 2 Tipos de crecimiento, lineal y exponencial
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Tipos de crecimiento: lineal y exponencial
Objetivo de aprendizaje
Distinguir entre crecimiento lineal y exponencial, modelar situaciones mediante funciones y resolver problemas asociados.
Existen dos formas principales en que cambian las cantidades: sumando una cantidad fija (lineal) o multiplicando por un factor (exponencial).
Crecimiento lineal: suma constante
Crecimiento exponencial: multiplicaci贸n constante
Diagrama: tipos de crecimiento
Crecimiento lineal
En el crecimiento lineal, la cantidad cambia sumando o restando siempre el mismo valor.
\[ f(t) = valor\ inicial + (cambio \cdot t) \]
Ejemplo: ahorro
Si comienzas con $50 y ahorras $10 cada mes:
\[ f(t) = 50 + 10t \]
- Ahorro constante
- Velocidad constante
- Crecimiento uniforme
Crecimiento exponencial
En el crecimiento exponencial, la cantidad se multiplica por un mismo factor en cada per铆odo.
\[ f(t) = valor\ inicial \cdot (factor)^t \]
Ejemplo: bacterias
Si una poblaci贸n se duplica:
\[ f(t) = 10 \cdot 2^t \]
- Crecimiento poblacional
- Inter茅s compuesto
- Reproducci贸n celular
Decrecimiento exponencial
En el decrecimiento exponencial, la cantidad se multiplica por un n煤mero entre 0 y 1.
\[ f(t) = valor\ inicial \cdot (factor)^t \]
con \(0 < factor < 1\)
Ejemplo: desintegraci贸n
\[ f(t) = 64 \cdot (0,5)^t \]
- Vida media
- Depreciaci贸n
- Enfriamiento
Ejercicios
Ejercicio 1
Un ahorro inicial de $100 aumenta $20 cada mes.
\[ f(t) = 100 + 20t \]
Ejercicio 2
Una poblaci贸n de 50 bacterias se duplica cada hora.
\[ f(t) = 50 \cdot 2^t \]
Ejercicio 3
Un valor de $1000 se reduce un 10% cada a帽o.
\[ f(t) = 1000 \cdot (0,9)^t \]
La clave est谩 en identificar si el cambio es constante (lineal) o proporcional (exponencial). Esta decisi贸n determina todo el modelo matem谩tico.