CAPITULO 4 Conos
7. diagrama
Conos: forma, volumen y área
Objetivo de aprendizaje
Comprender la estructura del cono, su relación con el cilindro y aplicar las fórmulas de volumen, área lateral y área total en situaciones geométricas.
El cono es un cuerpo geométrico que se puede estudiar desde tres ideas conectadas: su forma, su volumen y el análisis de su superficie al desplegarla.
En un cono recto distinguimos:
\[ r=\text{radio de la base}, \qquad h=\text{altura}, \qquad g=\text{generatriz} \]
Además, estas medidas se relacionan por el Teorema de Pitágoras:
\[ g^2=r^2+h^2 \]
Diagrama general del capítulo
Un cono es un cuerpo geométrico tridimensional con base circular y un vértice. En el caso del cono recto, la altura cae perpendicularmente al centro de la base.
También puede interpretarse como el sólido que se genera al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. En esa interpretación, un cateto determina la altura, el otro el radio y la hipotenusa la generatriz. :contentReference[oaicite:1]{index=1}
Los conos aparecen en embudos, barquillos de helado, volcanes, gorros de fiesta, depósitos y piezas de ingeniería. Por eso estudiar sus medidas y su capacidad tiene aplicaciones reales. :contentReference[oaicite:2]{index=2}
Volumen del cono
Si un cono y un cilindro tienen la misma base y la misma altura, el volumen del cono corresponde a un tercio del volumen del cilindro. Esa es la idea que permite deducir la fórmula del volumen. :contentReference[oaicite:3]{index=3}
\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi r^2 h \]
Aquí, \(\pi r^2\) representa el área de la base circular. Por eso también puede leerse como:
\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\cdot \text{área de la base}\cdot \text{altura} \]
Ejemplo: cálculo directo del volumen
Calcular el volumen de un cono de radio \(5\) cm y altura \(12\) cm.
Aplicamos la fórmula:
\[ V=\frac{1}{3}\pi r^2 h \]
Sustituimos:
\[ V=\frac{1}{3}\pi(5)^2(12) \]
\[ V=\frac{1}{3}\pi(25)(12)=100\pi \text{ cm}^3 \]
En aproximación decimal:
\[ V\approx 314 \text{ cm}^3 \]
Ejemplo: encontrar una medida faltante
Un cono tiene altura \(8\) cm y volumen \(96\pi\) cm³. Hallar el radio.
Partimos de:
\[ 96\pi=\frac{1}{3}\pi r^2(8) \]
Multiplicamos y despejamos:
\[ 96=\frac{8r^2}{3} \]
\[ 288=8r^2 \]
\[ 36=r^2 \]
\[ r=6 \text{ cm} \]
En problemas de volumen, la generatriz no reemplaza a la altura. Si el problema entrega la generatriz, primero hay que usar Pitágoras para hallar la altura o el radio que falte. :contentReference[oaicite:4]{index=4}
Red del cono y área lateral
Cuando se corta el cono por la generatriz y se despliega su superficie, se obtiene una red compuesta por dos figuras:
- un círculo, que corresponde a la base,
- un sector circular, que corresponde a la cara lateral.
Esa observación permite comprender el cálculo del área lateral y del área total. :contentReference[oaicite:5]{index=5}
Área de la base:
\[ A_B=\pi r^2 \]
Área lateral:
\[ A_L=\pi rg \]
Área total:
\[ A_T=A_B+A_L=\pi r^2+\pi rg \]
También puede escribirse como:
\[ A_T=\pi r(r+g) \]
Ejemplo: área total con radio y generatriz
Calcular el área total de un cono de radio \(4\) cm y generatriz \(10\) cm.
Usamos:
\[ A_T=\pi r^2+\pi rg \]
Sustituyendo:
\[ A_T=\pi(4)^2+\pi(4)(10) \]
\[ A_T=16\pi+40\pi=56\pi \text{ cm}^2 \]
Aproximadamente:
\[ A_T\approx 175{,}93 \text{ cm}^2 \]
Ejemplo: área total con área de base conocida
Si el área de la base es \(9\pi\) cm² y la generatriz es \(8\) cm, hallar el área total.
Primero obtenemos el radio a partir de la base:
\[ \pi r^2=9\pi \Rightarrow r^2=9 \Rightarrow r=3 \]
Luego calculamos el área lateral:
\[ A_L=\pi rg=\pi(3)(8)=24\pi \]
Finalmente:
\[ A_T=9\pi+24\pi=33\pi \text{ cm}^2 \]
Uso de Pitágoras en el cono
En un cono recto, radio, altura y generatriz forman un triángulo rectángulo:
\[ g^2=r^2+h^2 \]
De ahí se desprenden estas formas útiles:
\[ r=\sqrt{g^2-h^2} \qquad\text{y}\qquad h=\sqrt{g^2-r^2} \]
Ejemplo: hallar el radio usando la generatriz
Un cono tiene altura \(8\) cm y generatriz \(10\) cm. Hallar su volumen.
Primero hallamos el radio:
\[ r=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6 \]
Ahora usamos la fórmula del volumen:
\[ V=\frac{1}{3}\pi r^2 h \]
\[ V=\frac{1}{3}\pi(6)^2(8)=\frac{1}{3}\pi(36)(8)=96\pi \text{ cm}^3 \]
La altura es una distancia perpendicular a la base. La generatriz es una medida inclinada. En problemas de área lateral aparece la generatriz; en problemas de volumen aparece la altura. :contentReference[oaicite:6]{index=6}
Interpretación final
El estudio del cono reúne álgebra, geometría plana y geometría espacial. El volumen se entiende comparándolo con el cilindro; el área se entiende desplegando la superficie; y las medidas faltantes se encuentran usando Pitágoras.
Estas fórmulas permiten estimar capacidades, superficies de materiales y dimensiones reales en objetos como embudos, vasos cónicos, tolvas y depósitos. :contentReference[oaicite:7]{index=7}