Libro del Crecimiento y el Decrecimiento Porcentual
2. Crecimiento y decrecimiento porcentual en un período
Objetivos de aprendizaje
- Comprender cómo cambia una cantidad cuando aumenta o disminuye en un porcentaje en un solo período, interpretando correctamente el nuevo valor en distintos contextos.
Un cambio en un solo período
En muchas situaciones una cantidad cambia una sola vez: un precio sube, un producto tiene descuento, un salario aumenta o el valor de un objeto disminuye.
En todos esos casos hablamos de un cambio porcentual en un período.
Idea clave
Si una cantidad aumenta, el nuevo valor será mayor que el inicial.
Si una cantidad disminuye, el nuevo valor será menor que el inicial.
Regla para un aumento porcentual
Si una cantidad vale \(V\) y aumenta en \(r\%\), primero se calcula el porcentaje de aumento y luego se suma al valor inicial.
\[ \text{Aumento}=V\cdot \frac{r}{100} \]
\[ \text{Nuevo valor}=V+\text{aumento} \]
Regla para una disminución porcentual
Si una cantidad vale \(V\) y disminuye en \(r\%\), primero se calcula el porcentaje de disminución y luego se resta al valor inicial.
\[ \text{Disminución}=V\cdot \frac{r}{100} \]
\[ \text{Nuevo valor}=V-\text{disminución} \]
Error frecuente
Al hablar de aumento o disminución porcentual, el porcentaje siempre se calcula sobre el valor inicial de la cantidad.
No se debe sumar o restar el número del porcentaje como si fuera una cantidad fija.
Ejemplo 1: aumento en un período
El precio de una bicicleta es \( \$120\,000 \) y aumenta un \(10\%\).
Primero calculamos el aumento:
\[ 120\,000\cdot 0{,}10=12\,000 \]
Luego sumamos al valor inicial:
\[ 120\,000+12\,000=132\,000 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$132\,000 \).
Ejemplo 2: disminución en un período
Una chaqueta cuesta \( \$40\,000 \) y tiene un descuento del \(15\%\).
Primero calculamos el descuento:
\[ 40\,000\cdot 0{,}15=6\,000 \]
Luego restamos al valor inicial:
\[ 40\,000-6\,000=34\,000 \]
Respuesta: el precio final es \( \$34\,000 \).
Ejemplo 3: interpretar el cambio
Un salario de \( \$500\,000 \) aumenta un \(8\%\).
Calculamos el aumento:
\[ 500\,000\cdot 0{,}08=40\,000 \]
Nuevo salario:
\[ 500\,000+40\,000=540\,000 \]
Interpretación: el salario sube porque el cambio es un aumento.
Respuesta: el nuevo salario es \( \$540\,000 \).
Situaciones reales
Los cambios porcentuales en un período aparecen en descuentos en tiendas, aumentos de sueldo, rebajas, variación de precios y muchos otros contextos cotidianos.
Ejercicios
Ejercicio 1
Un producto cuesta \( \$5000 \) y aumenta un \(20\%\). Calcula el nuevo precio.
Calculamos el aumento:
\[ 5000\cdot 0{,}20=1000 \]
Como el precio aumenta, sumamos al valor inicial:
\[ 5000+1000=6000 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$6000 \).
Ejercicio 2
Una mochila cuesta \( \$18\,000 \) y tiene un descuento del \(10\%\). Calcula el precio final.
Calculamos el descuento:
\[ 18\,000\cdot 0{,}10=1800 \]
Como es un descuento, restamos al valor inicial:
\[ 18\,000-1800=16\,200 \]
Respuesta: el precio final es \( \$16\,200 \).
Ejercicio 3
Un sueldo de \( \$700\,000 \) aumenta un \(5\%\). ¿Cuál es el nuevo sueldo?
Calculamos el aumento:
\[ 700\,000\cdot 0{,}05=35\,000 \]
Sumamos el aumento al sueldo inicial:
\[ 700\,000+35\,000=735\,000 \]
Respuesta: el nuevo sueldo es \( \$735\,000 \).
Ejercicio 4
El valor de un teléfono es \( \$250\,000 \) y disminuye un \(12\%\). ¿Cuál es su nuevo valor?
Calculamos la disminución:
\[ 250\,000\cdot 0{,}12=30\,000 \]
Restamos al valor inicial:
\[ 250\,000-30\,000=220\,000 \]
Respuesta: el nuevo valor es \( \$220\,000 \).
Ejercicio 5
Una cantidad de \(900\) aumenta un \(15\%\). Calcula el nuevo valor.
Calculamos el aumento:
\[ 900\cdot 0{,}15=135 \]
Sumamos el aumento a la cantidad inicial:
\[ 900+135=1035 \]
Respuesta: el nuevo valor es \(1035\).
Ejercicio 6
Una cantidad de \(1500\) disminuye un \(8\%\). Calcula el nuevo valor.
Calculamos la disminución:
\[ 1500\cdot 0{,}08=120 \]
Restamos la disminución a la cantidad inicial:
\[ 1500-120=1380 \]
Respuesta: el nuevo valor es \(1380\).
Ejercicio 7
Indica si cada caso representa crecimiento o decrecimiento:
a) El precio de un producto sube un \(6\%\).
b) Una tienda aplica un descuento del \(25\%\).
c) Un salario aumenta un \(4\%\).
d) El valor de un objeto baja un \(9\%\).
a) El precio sube, por lo tanto representa crecimiento.
b) Un descuento reduce el precio, por lo tanto representa decrecimiento.
c) El salario aumenta, por lo tanto representa crecimiento.
d) El valor baja, por lo tanto representa decrecimiento.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma que aumentar \(400\) en \(10\%\) es hacer \(400+10\).
Explica por qué está equivocado y corrige el resultado.
Está equivocado porque \(10\%\) no significa sumar 10 unidades, sino calcular el \(10\%\) de \(400\).
Calculamos el aumento correcto:
\[ 400\cdot 0{,}10=40 \]
Luego sumamos ese aumento al valor inicial:
\[ 400+40=440 \]
Respuesta: el resultado correcto es \(440\), no \(410\).
Ejercicio 9
Compara los resultados:
a) Aumentar \(1000\) en \(20\%\).
b) Disminuir \(1000\) en \(20\%\).
a) Calculamos el \(20\%\) de \(1000\):
\[ 1000\cdot 0{,}20=200 \]
Como es aumento:
\[ 1000+200=1200 \]
b) El \(20\%\) de \(1000\) también es \(200\), pero ahora se resta:
\[ 1000-200=800 \]
Comparación: aumentar da \(1200\), mientras que disminuir da \(800\).
Ejercicio 10
El valor de una entrada es \( \$6000 \).
Calcula el nuevo valor en cada caso:
a) Aumenta un \(5\%\).
b) Disminuye un \(5\%\).
Primero calculamos el \(5\%\) de \(6000\):
\[ 6000\cdot 0{,}05=300 \]
a) Si aumenta, sumamos:
\[ 6000+300=6300 \]
b) Si disminuye, restamos:
\[ 6000-300=5700 \]
Respuesta: con aumento queda en \( \$6300 \), y con disminución queda en \( \$5700 \).
Para cerrar
En un cambio porcentual en un período, el porcentaje se calcula sobre el valor inicial y luego se suma o se resta según corresponda. Esta idea será fundamental para estudiar después el factor multiplicativo y los cambios repetidos en varios períodos.