Crecimiento y Decrecimiento Porcentual
4. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante en varios períodos
Objetivos de aprendizaje
Comprender cómo evoluciona una cantidad cuando el mismo cambio porcentual se repite en varios períodos, identificando el patrón de crecimiento o decrecimiento constante.
En las páginas anteriores estudiamos cambios porcentuales en un solo período y aprendimos a usar la tasa y el factor multiplicativo.
Ahora estudiaremos qué ocurre cuando ese mismo cambio se repite varias veces.
Si en cada período se repite el mismo porcentaje, entonces en cada paso se vuelve a multiplicar por el mismo factor.
Eso produce una evolución constante en términos porcentuales, aunque los aumentos o disminuciones no sean iguales en cantidad.
Si una cantidad crece un \(r\%\) en cada período, en cada paso se multiplica por:
\[ 1+\frac{r}{100} \]
Si una cantidad disminuye un \(r\%\) en cada período, en cada paso se multiplica por:
\[ 1-\frac{r}{100} \]
No se debe pensar que, porque el porcentaje es el mismo, la cantidad que se suma o se resta también es la misma.
En realidad, el porcentaje se calcula cada vez sobre un valor nuevo.
Ejemplo 1: crecimiento constante en varios períodos
Una inversión inicial de \(1000\) pesos crece un \(10\%\) mensual durante 3 meses.
El factor es:
\[ 1+\frac{10}{100}=1{,}10 \]
Calculamos paso a paso:
\[ \text{Mes 1: }1000\cdot 1{,}10=1100 \]
\[ \text{Mes 2: }1100\cdot 1{,}10=1210 \]
\[ \text{Mes 3: }1210\cdot 1{,}10=1331 \]
Conclusión: la inversión crece en cada período, pero el aumento no es siempre igual en cantidad.
Ejemplo 2: decrecimiento constante en varios períodos
El valor de una máquina es \(5000\) pesos y disminuye un \(20\%\) cada año durante 3 años.
El factor es:
\[ 1-\frac{20}{100}=0{,}80 \]
Calculamos paso a paso:
\[ \text{Año 1: }5000\cdot 0{,}80=4000 \]
\[ \text{Año 2: }4000\cdot 0{,}80=3200 \]
\[ \text{Año 3: }3200\cdot 0{,}80=2560 \]
Conclusión: la cantidad disminuye cada período, pero no restando siempre la misma cantidad.
Cuando el cambio porcentual se repite, los valores forman una secuencia en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por el mismo factor.
Ese patrón será la base para construir tablas, gráficos y fórmulas en la siguiente página.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión de \(2000\) pesos crece un \(5\%\) por período durante 3 períodos.
Calcula los valores correspondientes a los períodos 1, 2 y 3.
El factor es:
\[ 1{,}05 \]
\[ V_1=2000\cdot 1{,}05=2100 \]
\[ V_2=2100\cdot 1{,}05=2205 \]
\[ V_3=2205\cdot 1{,}05=2315{,}25 \]
Ejercicio 2
Una cantidad de \(800\) disminuye un \(10\%\) por período durante 4 períodos.
Calcula los valores correspondientes a los períodos 1, 2, 3 y 4.
El factor es:
\[ 0{,}90 \]
\[ V_1=800\cdot 0{,}90=720 \]
\[ V_2=720\cdot 0{,}90=648 \]
\[ V_3=648\cdot 0{,}90=583{,}2 \]
\[ V_4=583{,}2\cdot 0{,}90=524{,}88 \]
Ejercicio 3
Una población inicial de \(1500\) individuos crece un \(8\%\) anual.
Calcula la población después de 2 años.
El factor es \(1{,}08\).
\[ V_1=1500\cdot 1{,}08=1620 \]
\[ V_2=1620\cdot 1{,}08=1749{,}6 \]
Ejercicio 4
El valor de un aparato es \(12\,000\) pesos y pierde un \(15\%\) anual.
Calcula su valor después de 2 años.
El factor es \(0{,}85\).
\[ V_1=12\,000\cdot 0{,}85=10\,200 \]
\[ V_2=10\,200\cdot 0{,}85=8670 \]
Ejercicio 5
Completa la tabla para una cantidad inicial de \(1000\) que crece un \(12\%\) por período.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | 1000 |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 |
El factor es:
\[ 1{,}12 \]
\[ V_1=1120,\quad V_2=1254{,}4,\quad V_3=1404{,}93 \]
Ejercicio 6
Completa la tabla para una cantidad inicial de \(3000\) que disminuye un \(5\%\) por período.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | 3000 |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 |
El factor es:
\[ 0{,}95 \]
\[ V_1=2850,\quad V_2=2707{,}5,\quad V_3=2572{,}13 \]
Ejercicio 7
Explica por qué una cantidad que crece un \(10\%\) durante 2 períodos no aumenta lo mismo que una cantidad que crece un \(20\%\) en un solo período.
Porque en el crecimiento por varios períodos el segundo aumento se calcula sobre una cantidad nueva.
Por eso:
\[ (1{,}10)^2=1{,}21 \]
mientras que un aumento único de \(20\%\) corresponde a \(1{,}20\).
Ejercicio 8
Una cantidad se multiplica cada período por \(1{,}03\).
¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento? ¿De qué porcentaje?
Como \(1{,}03>1\), corresponde a crecimiento.
\[ 1{,}03=1+0{,}03 \]
Corresponde a un crecimiento del \(3\%\) por período.
Ejercicio 9
Una cantidad se multiplica cada período por \(0{,}97\).
¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento? ¿De qué porcentaje?
Como \(0{,}97<1\), corresponde a decrecimiento.
\[ 0{,}97=1-0{,}03 \]
Corresponde a una disminución del \(3\%\) por período.
Ejercicio 10
Un estudiante dice: “Si una cantidad crece un \(10\%\) en cada período, entonces siempre aumenta lo mismo”.
Explica por qué esa afirmación es incorrecta.
Es incorrecta porque el \(10\%\) se calcula cada vez sobre un valor distinto.
Por eso la cantidad que se suma cambia en cada período, aunque el porcentaje sea el mismo.
Cuando un cambio porcentual se repite, el proceso deja de ser un cambio aislado y aparece un patrón multiplicativo que permite construir tablas, gráficos y fórmulas.