Libro del Crecimiento y el Decrecimiento Porcentual
5. Tabla, gráfico y fórmula general
Objetivos de aprendizaje
- Representar el crecimiento y decrecimiento porcentual constante mediante tablas y gráficos, y relacionar esas representaciones con una fórmula general.
Distintas formas de representar una misma situación
Cuando una cantidad cambia en el mismo porcentaje en cada período, esa situación puede representarse de varias maneras.
Por ejemplo, se puede describir con una tabla, con un gráfico o con una fórmula.
Idea clave
La tabla permite observar los valores período a período, el gráfico muestra la tendencia y la fórmula permite calcular directamente cualquier valor.
Tabla de evolución
Ejemplo con tabla
Una inversión de \( \$1000 \) crece un \(15\%\) cada mes.
| Mes | Valor | Cálculo |
|---|---|---|
| 0 | \(1000\) | Valor inicial |
| 1 | \(1150\) | \(1000 \cdot 1{,}15\) |
| 2 | \(1322{,}5\) | \(1150 \cdot 1{,}15\) |
| 3 | \(1520{,}88\) | \(1322{,}5 \cdot 1{,}15\) |
| 4 | \(1749{,}01\) | \(1520{,}88 \cdot 1{,}15\) |
| 5 | \(2011{,}36\) | \(1749{,}01 \cdot 1{,}15\) |
| 6 | \(2313{,}06\) | \(2011{,}36 \cdot 1{,}15\) |
| 7 | \(2660{,}02\) | \(2313{,}06 \cdot 1{,}15\) |
| 8 | \(3059{,}02\) | \(2660{,}02 \cdot 1{,}15\) |
Observación importante
El aumento no es siempre el mismo. Cada vez se calcula sobre un valor mayor.
Por eso el crecimiento se hace cada vez más evidente con el paso del tiempo.
Representación gráfica
Interpretación del gráfico
Una forma clara de visualizar el crecimiento porcentual constante es mediante un gráfico de líneas.
En el eje horizontal se representa el tiempo y en el eje vertical el valor de la cantidad.
Ejemplo gráfico: inversión de \( \$1000 \) con crecimiento del \(15\%\) mensual
La evolución de la inversión durante 8 meses es la siguiente:
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | \(1150\) |
| 2 | \(1322{,}5\) |
| 3 | \(1520{,}88\) |
| 4 | \(1749{,}01\) |
| 5 | \(2011{,}36\) |
| 6 | \(2313{,}06\) |
| 7 | \(2660{,}02\) |
| 8 | \(3059{,}02\) |
En el gráfico se observa una tendencia ascendente cada vez más marcada.
Cada mes la inversión aumenta, pero no en una cantidad fija, porque el \(15\%\) se calcula siempre sobre el valor acumulado hasta ese momento.
Error común
No se debe pensar que el crecimiento es sumar siempre la misma cantidad. Eso correspondería a un crecimiento lineal, no a uno porcentual constante.
Fórmula general
Conexión importante
El factor multiplicativo es el número que aparece elevado a una potencia en la fórmula general.
Modelo general
Si una cantidad inicial es \(V_0\) y cambia en \(r\%\) cada período, entonces:
Crecimiento:
\[ V_n = V_0\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
Decrecimiento:
\[ V_n = V_0\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \]
Ejemplo 1: crecimiento con fórmula general
Una inversión de \( \$2000 \) crece un \(10\%\) anual durante 3 años.
La tasa es \(10\%\), por lo tanto el factor es \(1{,}10\).
Aplicamos la fórmula:
\[ V_3 = 2000\left(1+\frac{10}{100}\right)^3 = 2000(1{,}10)^3 \]
\[ V_3 = 2000 \cdot 1{,}331 = 2662 \]
Respuesta: el valor final es \( \$2662 \).
Ejemplo 2: decrecimiento con fórmula general
Un auto vale \( \$10\,000\,000 \) y pierde un \(20\%\) cada año durante 2 años.
La tasa es \(20\%\), por lo tanto el factor es \(0{,}80\).
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2 = 10\,000\,000\left(1-\frac{20}{100}\right)^2 = 10\,000\,000(0{,}80)^2 \]
\[ V_2 = 10\,000\,000 \cdot 0{,}64 = 6\,400\,000 \]
Respuesta: el valor final es \( \$6\,400\,000 \).
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión de \( \$1000 \) crece un \(5\%\) anual durante 2 años. Calcula el valor final.
Como es crecimiento, usamos el factor:
\[ 1+\frac{5}{100}=1{,}05 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2 = 1000(1{,}05)^2 \]
\[ V_2 = 1000\cdot 1{,}1025=1102{,}5 \]
Respuesta: el valor final es \( \$1102{,}5 \).
Ejercicio 2
Una cantidad de \(500\) disminuye un \(10\%\) durante 3 períodos. Calcula el valor final.
Como es decrecimiento, usamos el factor:
\[ 1-\frac{10}{100}=0{,}90 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_3 = 500(0{,}90)^3 \]
\[ V_3 = 500\cdot 0{,}729=364{,}5 \]
Respuesta: el valor final es \(364{,}5\).
Ejercicio 3
Completa la tabla para un crecimiento del \(8\%\) partiendo en \(1000\) durante 3 períodos.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | _____ |
| 2 | _____ |
| 3 | _____ |
El factor de crecimiento es:
\[ 1+0{,}08=1{,}08 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=1000\cdot 1{,}08=1080 \]
\[ V_2=1080\cdot 1{,}08=1166{,}4 \]
\[ V_3=1166{,}4\cdot 1{,}08=1259{,}712 \]
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | \(1080\) |
| 2 | \(1166{,}4\) |
| 3 | \(1259{,}712\) |
Ejercicio 4
Una cantidad se multiplica cada período por \(1{,}12\). ¿Qué porcentaje representa?
Como \(1{,}12>1\), corresponde a crecimiento.
Escribimos:
\[ 1{,}12 = 1 + 0{,}12 \]
\[ 0{,}12=12\% \]
Respuesta: representa un aumento del \(12\%\) por período.
Ejercicio 5
Una población de \(2000\) crece un \(3\%\) durante 4 años. Calcula el valor final.
Como es crecimiento, el factor es:
\[ 1+0{,}03=1{,}03 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_4 = 2000(1{,}03)^4 \]
\[ V_4 \approx 2000\cdot 1{,}1255 \approx 2251 \]
Respuesta: el valor final es aproximadamente \(2251\).
Ejercicio 6
Un valor disminuye un \(15\%\) durante 2 períodos desde \(800\). Calcula el valor final.
Como es decrecimiento, el factor es:
\[ 1-0{,}15=0{,}85 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2 = 800(0{,}85)^2 \]
\[ V_2 = 800\cdot 0{,}7225=578 \]
Respuesta: el valor final es \(578\).
Ejercicio 7
Compara: aumentar un \(10\%\) durante 2 períodos versus aumentar un \(20\%\) una sola vez desde \(1000\).
Aumentar un \(10\%\) durante 2 períodos corresponde a multiplicar dos veces por \(1{,}10\):
\[ 1000(1{,}10)^2=1000\cdot 1{,}21=1210 \]
Aumentar un \(20\%\) una sola vez corresponde a multiplicar por \(1{,}20\):
\[ 1000(1{,}20)=1200 \]
Respuesta: no son iguales; el crecimiento repetido del \(10\%\) durante 2 períodos da \(1210\), mientras que el aumento único del \(20\%\) da \(1200\).
Ejercicio 8
Explica por qué el crecimiento porcentual no es lineal.
El crecimiento porcentual no es lineal porque el aumento no se calcula siempre sobre la misma cantidad.
En cada período, el porcentaje se aplica al valor actualizado.
Por ejemplo, si una cantidad crece un \(10\%\), el primer aumento desde \(1000\) es:
\[ 1000\cdot 0{,}10=100 \]
Pero si el nuevo valor es \(1100\), el siguiente aumento es:
\[ 1100\cdot 0{,}10=110 \]
Respuesta: no es lineal porque la cantidad que aumenta cambia en cada período.
Ejercicio 9
Si una cantidad se multiplica por \(0{,}95\) cada período, ¿qué ocurre?
Como \(0{,}95<1\), corresponde a decrecimiento.
Escribimos:
\[ 0{,}95 = 1 - 0{,}05 \]
\[ 0{,}05=5\% \]
Respuesta: la cantidad disminuye un \(5\%\) cada período.
Ejercicio 10
Calcula el valor final de \(1500\) que crece un \(4\%\) durante 3 períodos.
Como es crecimiento, el factor es:
\[ 1+0{,}04=1{,}04 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_3=1500(1{,}04)^3 \]
\[ V_3\approx 1500\cdot 1{,}124864=1687{,}296 \]
Respuesta: el valor final es aproximadamente \(1687{,}3\).
Ejercicio 11: completar la tabla y graficar
El valor de una máquina es de \( \$5000 \) y disminuye un \(10\%\) cada mes.
Completa la tabla para los primeros 5 meses y luego representa los datos en un gráfico de líneas.
Indica si corresponde a crecimiento o decrecimiento.
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(5000\) |
| 1 | _____ |
| 2 | _____ |
| 3 | _____ |
| 4 | _____ |
| 5 | _____ |
Como la máquina disminuye un \(10\%\) cada mes, corresponde a un decrecimiento.
El factor es:
\[ 1-0{,}10=0{,}90 \]
Calculamos sucesivamente:
\[ 5000\cdot 0{,}90=4500 \]
\[ 4500\cdot 0{,}90=4050 \]
\[ 4050\cdot 0{,}90=3645 \]
\[ 3645\cdot 0{,}90=3280{,}5 \]
\[ 3280{,}5\cdot 0{,}90=2952{,}45 \]
La tabla completa queda:
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(5000\) |
| 1 | \(4500\) |
| 2 | \(4050\) |
| 3 | \(3645\) |
| 4 | \(3280{,}5\) |
| 5 | \(2952{,}45\) |
El gráfico de líneas correspondiente es:
En el gráfico se observa una tendencia descendente.
La cantidad disminuye cada mes, pero no restando siempre lo mismo, sino multiplicándose sucesivamente por \(0{,}90\).
Para cerrar
Cuando un mismo porcentaje se repite, la situación puede representarse mediante una tabla, un gráfico y una fórmula general. Cada representación aporta una forma distinta de comprender el mismo fenómeno.