Crecimiento y Decrecimiento Porcentual
6. Forma recursiva del cambio porcentual constante
Objetivos de aprendizaje
Comprender la forma recursiva del crecimiento y decrecimiento porcentual constante, relacionándola con tablas, factores multiplicativos y la evolución período a período.
En la página anterior vimos que una situación de crecimiento o decrecimiento porcentual constante puede representarse con una tabla, un gráfico y una fórmula general.
Ahora la describiremos de otra manera: calculando cada valor a partir del valor anterior.
En una relación recursiva, cada nuevo valor se obtiene usando el valor anterior.
En los cambios porcentuales constantes, eso se hace multiplicando siempre por el mismo factor.
Si una cantidad crece un \(r\%\) por período, entonces:
\[ V_{n+1}=V_n\left(1+\frac{r}{100}\right) \]
donde \(V_0\) representa el valor inicial.
Si una cantidad disminuye un \(r\%\) por período, entonces:
\[ V_{n+1}=V_n\left(1-\frac{r}{100}\right) \]
donde \(V_0\) representa el valor inicial.
No se debe confundir una relación recursiva con sumar o restar siempre la misma cantidad.
En el crecimiento o decrecimiento porcentual constante, cada nuevo valor se obtiene multiplicando por un factor, no sumando una cantidad fija.
Ejemplo 1: crecimiento recursivo
Una inversión inicial de \(1000\) pesos crece un \(15\%\) mensual.
La tasa es \(15\%\), por lo tanto el factor es:
\[ 1+\frac{15}{100}=1{,}15 \]
La relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}15 \]
\[ V_0=1000 \]
Calculamos los primeros valores:
\[ V_1=1000\cdot 1{,}15=1150 \]
\[ V_2=1150\cdot 1{,}15=1322{,}5 \]
\[ V_3=1322{,}5\cdot 1{,}15=1520{,}88 \]
Ejemplo 2: decrecimiento recursivo
El valor de una máquina es \(5000\) pesos y disminuye un \(10\%\) mensual.
La tasa es \(10\%\), por lo tanto el factor es:
\[ 1-\frac{10}{100}=0{,}90 \]
La relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}90 \]
\[ V_0=5000 \]
Calculamos los primeros valores:
\[ V_1=5000\cdot 0{,}90=4500 \]
\[ V_2=4500\cdot 0{,}90=4050 \]
\[ V_3=4050\cdot 0{,}90=3645 \]
La tabla muestra los valores paso a paso.
La fórmula general permite calcular directamente un valor lejano.
La relación recursiva, en cambio, permite construir la secuencia período a período.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión inicial de \(2000\) pesos crece un \(5\%\) mensual.
a) Determina el factor.
b) Escribe la relación recursiva.
c) Indica la condición inicial.
a)
\[ 1+\frac{5}{100}=1{,}05 \]
b)
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}05 \]
c)
\[ V_0=2000 \]
Ejercicio 2
Una máquina vale \(8000\) pesos y disminuye un \(12\%\) anual.
a) Determina el factor.
b) Escribe la relación recursiva.
c) Indica la condición inicial.
a)
\[ 1-\frac{12}{100}=0{,}88 \]
b)
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}88 \]
c)
\[ V_0=8000 \]
Ejercicio 3
Una población inicial de \(1500\) bacterias crece un \(20\%\) por período.
Calcula \(V_1\), \(V_2\) y \(V_3\) usando la forma recursiva.
El factor es \(1{,}20\).
\[ V_1=1500\cdot 1{,}20=1800 \]
\[ V_2=1800\cdot 1{,}20=2160 \]
\[ V_3=2160\cdot 1{,}20=2592 \]
Ejercicio 4
Un artículo cuesta \(6000\) pesos y pierde un \(15\%\) de su valor cada período.
Calcula \(V_1\), \(V_2\) y \(V_3\) usando la forma recursiva.
El factor es \(0{,}85\).
\[ V_1=6000\cdot 0{,}85=5100 \]
\[ V_2=5100\cdot 0{,}85=4335 \]
\[ V_3=4335\cdot 0{,}85=3684{,}75 \]
Ejercicio 5
Completa la tabla para una inversión de \(1000\) pesos que crece un \(10\%\) mensual.
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | 1000 |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 |
El factor es \(1{,}10\).
\[ V_1=1100,\quad V_2=1210,\quad V_3=1331,\quad V_4=1464{,}1 \]
Ejercicio 6
Completa la tabla para una cantidad inicial de \(4000\) que disminuye un \(5\%\) mensual.
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | 4000 |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 |
El factor es \(0{,}95\).
\[ V_1=3800,\quad V_2=3610,\quad V_3=3429{,}5,\quad V_4=3258{,}03 \]
Ejercicio 7
Una relación recursiva está dada por:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}08,\qquad V_0=500 \]
Indica si representa crecimiento o decrecimiento y calcula \(V_1\) y \(V_2\).
Como \(1{,}08>1\), representa crecimiento.
\[ V_1=500\cdot 1{,}08=540 \]
\[ V_2=540\cdot 1{,}08=583{,}2 \]
Ejercicio 8
Una relación recursiva está dada por:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}93,\qquad V_0=2000 \]
Indica si representa crecimiento o decrecimiento y calcula \(V_1\) y \(V_2\).
Como \(0{,}93<1\), representa decrecimiento.
\[ V_1=2000\cdot 0{,}93=1860 \]
\[ V_2=1860\cdot 0{,}93=1729{,}8 \]
Ejercicio 9
Explica con tus palabras qué significa la relación:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}12 \]
Significa que en cada período el nuevo valor se obtiene multiplicando el valor anterior por \(1{,}12\).
Corresponde a un crecimiento del \(12\%\) por período.
Ejercicio 10
Un estudiante dice que la relación
\[ V_{n+1}=V_n+200 \]
representa un crecimiento porcentual constante.
Explica si está en lo correcto o no.
No está en lo correcto.
La expresión \(V_{n+1}=V_n+200\) representa sumar siempre la misma cantidad, es decir, un crecimiento lineal.
En cambio, el crecimiento porcentual constante se modela multiplicando por un mismo factor en cada período.
La forma recursiva permite describir paso a paso un cambio porcentual constante. En lugar de calcular directamente un valor lejano, muestra cómo se construye cada valor a partir del anterior.