Crecimiento y Decrecimiento Porcentual
7. Aplicaciones del crecimiento y decrecimiento porcentual
Objetivos de aprendizaje
Aplicar los modelos de crecimiento y decrecimiento porcentual constante en situaciones reales, interpretando adecuadamente la tasa, el factor y la evolución de una cantidad en el tiempo.
Los cambios porcentuales constantes no aparecen solo en ejercicios abstractos.
También se usan para describir fenómenos reales como inversiones, descuentos repetidos, depreciación de objetos, crecimiento de una población o variación de precios.
En todos estos contextos, lo importante es identificar si la cantidad crece o disminuye, cuál es la tasa porcentual y cuál es el factor multiplicativo que se repite en cada período.
No todos los contextos reales usan crecimiento.
Algunas situaciones corresponden a decrecimiento, por ejemplo la depreciación del valor de un vehículo o la pérdida de población.
Aplicación 1: interés compuesto
El interés compuesto es un proceso en el cual una cantidad de dinero crece porque en cada período se aplica una tasa sobre el monto acumulado.
Esto significa que los intereses también generan nuevos intereses.
\[ M=C\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
donde:
- \(C\): capital inicial
- \(r\): tasa de interés por período
- \(n\): número de períodos
- \(M\): monto final
Ejemplo 1: interés compuesto
Se invierten \(1000\) pesos con una tasa del \(10\%\) anual durante 3 años.
La tasa es \(10\%\), por lo tanto el factor es:
\[ 1+\frac{10}{100}=1{,}10 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ M=1000(1{,}10)^3 \]
\[ M=1331 \]
Respuesta: el monto final es \(1331\) pesos.
Aplicación 2: depreciación
La depreciación ocurre cuando el valor de un objeto disminuye con el tiempo.
Por ejemplo, un auto o una máquina pueden perder un cierto porcentaje de su valor cada año.
Ejemplo 2: depreciación de un vehículo
Un automóvil vale \(12\,000\,000\) de pesos y pierde un \(15\%\) de su valor cada año durante 2 años.
El factor de decrecimiento es:
\[ 1-\frac{15}{100}=0{,}85 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2=12\,000\,000(0{,}85)^2 \]
\[ V_2=12\,000\,000\cdot 0{,}7225=8\,670\,000 \]
Respuesta: el valor final es \(8\,670\,000\) pesos.
Aplicación 3: crecimiento de población
En algunos contextos, una población puede crecer o disminuir cada cierto tiempo en un mismo porcentaje.
Eso también se modela usando un factor multiplicativo constante.
Ejemplo 3: crecimiento de una población
Una colonia de bacterias tiene inicialmente \(2000\) individuos y crece un \(5\%\) por período durante 4 períodos.
El factor es:
\[ 1+\frac{5}{100}=1{,}05 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_4=2000(1{,}05)^4 \]
\[ V_4 \approx 2431{,}01 \]
Respuesta: la población final es aproximadamente \(2431{,}01\).
Los cambios porcentuales constantes también aparecen en reajustes de precios, inflación, descuentos sucesivos, crecimiento económico y evolución de ciertos fenómenos naturales.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se invierten \(2000\) pesos al \(5\%\) anual durante 4 años.
Calcula el monto final con interés compuesto.
\[ M=2000\left(1+\frac{5}{100}\right)^4=2000(1{,}05)^4 \approx 2431{,}01 \]
Ejercicio 2
Se invierten \(1500\) pesos al \(8\%\) anual durante 3 años.
Calcula el monto final con interés compuesto.
\[ M=1500\left(1+\frac{8}{100}\right)^3=1500(1{,}08)^3 \approx 1889{,}57 \]
Ejercicio 3
Un auto vale \(10\,000\,000\) de pesos y pierde un \(10\%\) de su valor cada año durante 3 años.
Calcula su valor final.
\[ V_3=10\,000\,000(0{,}90)^3 \]
\[ V_3=7\,290\,000 \]
Ejercicio 4
Una máquina cuesta \(5000\) pesos y disminuye un \(12\%\) por período durante 2 períodos.
Calcula su valor final.
\[ V_2=5000\left(1-\frac{12}{100}\right)^2=5000(0{,}88)^2 \]
\[ V_2=3872 \]
Ejercicio 5
Una población inicial de \(3000\) individuos crece un \(4\%\) por período durante 5 períodos.
Calcula la población final.
\[ V_5=3000(1{,}04)^5 \approx 3649{,}96 \]
Ejercicio 6
Una población inicial de \(1200\) individuos disminuye un \(3\%\) por período durante 4 períodos.
Calcula la población final.
\[ V_4=1200(0{,}97)^4 \approx 1062{,}62 \]
Ejercicio 7
Indica si cada situación corresponde a crecimiento o decrecimiento:
a) una inversión gana un \(6\%\) por período
b) un vehículo pierde un \(18\%\) por año
c) una población aumenta un \(2\%\)
d) un producto baja un \(7\%\)
a) crecimiento
b) decrecimiento
c) crecimiento
d) decrecimiento
Ejercicio 8
Explica con tus palabras qué significa que “los intereses generan nuevos intereses”.
Significa que en cada período la tasa se aplica sobre el monto acumulado, incluyendo los intereses obtenidos anteriormente.
Ejercicio 9
Una cantidad se modela por:
\[ V_n=5000(0{,}92)^n \]
a) ¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento?
b) ¿Cuál es la tasa porcentual?
a) decrecimiento
b) como \(0{,}92=1-0{,}08\), la tasa es una disminución del \(8\%\).
Ejercicio 10
Una inversión inicial de \(1000\) pesos crece un \(12\%\) durante 2 períodos.
Calcula el monto final e interpreta el resultado.
\[ M=1000(1{,}12)^2=1254{,}4 \]
La inversión aumenta desde \(1000\) hasta \(1254{,}4\), porque el crecimiento del \(12\%\) se repite en cada período.
Los modelos de crecimiento y decrecimiento porcentual permiten describir muchas situaciones reales. Entender la tasa, el factor y la evolución de una cantidad ayuda a interpretar correctamente estos fenómenos.