Libro del Crecimiento y el Decrecimiento Porcentual
7. Aplicaciones del crecimiento y decrecimiento porcentual
Objetivos de aprendizaje
- Aplicar los modelos de crecimiento y decrecimiento porcentual constante en situaciones reales, interpretando adecuadamente la tasa, el factor y la evolución de una cantidad en el tiempo.
De la matemática al contexto
Los cambios porcentuales constantes no aparecen solo en ejercicios abstractos.
También se usan para describir fenómenos reales como inversiones, descuentos repetidos, depreciación de objetos, crecimiento de una población o variación de precios.
Idea clave
En todos estos contextos, lo importante es identificar si la cantidad crece o disminuye, cuál es la tasa porcentual y cuál es el factor multiplicativo que se repite en cada período.
Error frecuente
No todos los contextos reales usan crecimiento.
Algunas situaciones corresponden a decrecimiento, por ejemplo la depreciación del valor de un vehículo o la pérdida de población.
Aplicación 1: interés compuesto
¿Qué es el interés compuesto?
El interés compuesto es un proceso en el cual una cantidad de dinero crece porque en cada período se aplica una tasa sobre el monto acumulado.
Esto significa que los intereses también generan nuevos intereses.
Modelo del interés compuesto
\[ M=C\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
donde:
- \(C\): capital inicial.
- \(r\): tasa de interés por período.
- \(n\): número de períodos.
- \(M\): monto final.
Ejemplo 1: interés compuesto
Se invierten \( \$1000 \) con una tasa del \(10\%\) anual durante 3 años.
La tasa es \(10\%\), por lo tanto el factor es:
\[ 1+\frac{10}{100}=1{,}10 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ M=1000(1{,}10)^3 \]
\[ M=1000\cdot 1{,}331=1331 \]
Respuesta: el monto final es \( \$1331 \).
Aplicación 2: depreciación
¿Qué significa depreciación?
La depreciación ocurre cuando el valor de un objeto disminuye con el tiempo.
Por ejemplo, un auto o una máquina pueden perder un cierto porcentaje de su valor cada año.
Ejemplo 2: depreciación de un vehículo
Un automóvil vale \( \$12\,000\,000 \) y pierde un \(15\%\) de su valor cada año durante 2 años.
El factor de decrecimiento es:
\[ 1-\frac{15}{100}=0{,}85 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2=12\,000\,000(0{,}85)^2 \]
\[ V_2=12\,000\,000\cdot 0{,}7225=8\,670\,000 \]
Respuesta: el valor final es \( \$8\,670\,000 \).
Aplicación 3: crecimiento de población
Poblaciones que cambian en porcentaje
En algunos contextos, una población puede crecer o disminuir cada cierto tiempo en un mismo porcentaje.
Eso también se modela usando un factor multiplicativo constante.
Ejemplo 3: crecimiento de una población
Una colonia de bacterias tiene inicialmente \(2000\) individuos y crece un \(5\%\) por período durante 4 períodos.
El factor es:
\[ 1+\frac{5}{100}=1{,}05 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_4=2000(1{,}05)^4 \]
\[ V_4\approx 2431{,}01 \]
Respuesta: la población final es aproximadamente \(2431\) individuos.
Otras aplicaciones reales
Los cambios porcentuales constantes también aparecen en reajustes de precios, inflación, descuentos sucesivos, crecimiento económico y evolución de ciertos fenómenos naturales.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se invierten \( \$2000 \) al \(5\%\) anual durante 4 años.
Calcula el monto final con interés compuesto.
Como es interés compuesto, usamos el modelo:
\[ M=C\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
En este caso, \(C=2000\), \(r=5\) y \(n=4\). Entonces:
\[ M=2000\left(1+\frac{5}{100}\right)^4 \]
\[ M=2000(1{,}05)^4 \]
\[ M\approx 2000\cdot 1{,}2155\approx 2431{,}01 \]
Respuesta: el monto final es aproximadamente \( \$2431{,}01 \).
Ejercicio 2
Se invierten \( \$1500 \) al \(8\%\) anual durante 3 años.
Calcula el monto final con interés compuesto.
El capital inicial es \(1500\), la tasa es \(8\%\) y el tiempo es de 3 años.
El factor de crecimiento es:
\[ 1+\frac{8}{100}=1{,}08 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ M=1500(1{,}08)^3 \]
\[ M=1500\cdot 1{,}259712=1889{,}568 \]
Respuesta: el monto final es aproximadamente \( \$1889{,}57 \).
Ejercicio 3
Un auto vale \( \$10\,000\,000 \) y pierde un \(10\%\) de su valor cada año durante 3 años.
Calcula su valor final.
Como el valor disminuye un \(10\%\), el factor de decrecimiento es:
\[ 1-\frac{10}{100}=0{,}90 \]
Aplicamos el modelo:
\[ V_3=10\,000\,000(0{,}90)^3 \]
\[ V_3=10\,000\,000\cdot 0{,}729=7\,290\,000 \]
Respuesta: el valor final del auto es \( \$7\,290\,000 \).
Ejercicio 4
Una máquina cuesta \( \$5000 \) y disminuye un \(12\%\) por período durante 2 períodos.
Calcula su valor final.
Como hay una disminución del \(12\%\), el factor es:
\[ 1-\frac{12}{100}=0{,}88 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2=5000(0{,}88)^2 \]
\[ V_2=5000\cdot 0{,}7744=3872 \]
Respuesta: el valor final es \( \$3872 \).
Ejercicio 5
Una población inicial de \(3000\) individuos crece un \(4\%\) por período durante 5 períodos.
Calcula la población final.
Como la población crece un \(4\%\), el factor es:
\[ 1+\frac{4}{100}=1{,}04 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_5=3000(1{,}04)^5 \]
\[ V_5\approx 3000\cdot 1{,}21665\approx 3649{,}96 \]
Respuesta: la población final es aproximadamente \(3650\) individuos.
Ejercicio 6
Una población inicial de \(1200\) individuos disminuye un \(3\%\) por período durante 4 períodos.
Calcula la población final.
Como la población disminuye un \(3\%\), el factor es:
\[ 1-\frac{3}{100}=0{,}97 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V_4=1200(0{,}97)^4 \]
\[ V_4\approx 1200\cdot 0{,}88529281\approx 1062{,}35 \]
Respuesta: la población final es aproximadamente \(1062\) individuos.
Ejercicio 7
Indica si cada situación corresponde a crecimiento o decrecimiento:
a) Una inversión gana un \(6\%\) por período.
b) Un vehículo pierde un \(18\%\) por año.
c) Una población aumenta un \(2\%\).
d) Un producto baja un \(7\%\).
a) Si la inversión gana valor, corresponde a crecimiento.
b) Si el vehículo pierde valor, corresponde a decrecimiento.
c) Si la población aumenta, corresponde a crecimiento.
d) Si el producto baja de precio, corresponde a decrecimiento.
Ejercicio 8
Explica con tus palabras qué significa que “los intereses generan nuevos intereses”.
Significa que en cada período la tasa se aplica sobre el monto acumulado, no solo sobre el capital inicial.
Por ejemplo, si una inversión crece, el interés del segundo período se calcula sobre el capital inicial más los intereses obtenidos en el primer período.
Respuesta: los intereses generan nuevos intereses porque pasan a formar parte del monto sobre el cual se calcula el crecimiento siguiente.
Ejercicio 9
Una cantidad se modela por:
\[ V_n=5000(0{,}92)^n \]
a) ¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento?
b) ¿Cuál es la tasa porcentual?
a) El factor es \(0{,}92\).
Como \(0{,}92<1\), corresponde a decrecimiento.
b) Para encontrar la tasa, escribimos el factor como:
\[ 0{,}92=1-0{,}08 \]
Luego:
\[ 0{,}08=8\% \]
Respuesta: corresponde a un decrecimiento del \(8\%\) por período.
Ejercicio 10
Una inversión inicial de \( \$1000 \) crece un \(12\%\) durante 2 períodos.
Calcula el monto final e interpreta el resultado.
Como hay crecimiento del \(12\%\), el factor es:
\[ 1+\frac{12}{100}=1{,}12 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ M=1000(1{,}12)^2 \]
\[ M=1000\cdot 1{,}2544=1254{,}4 \]
Respuesta: el monto final es \( \$1254{,}4 \).
Interpretación: la inversión aumenta desde \( \$1000 \) hasta \( \$1254{,}4 \), porque el crecimiento del \(12\%\) se repite en cada período.
Para cerrar
Los modelos de crecimiento y decrecimiento porcentual permiten describir muchas situaciones reales. Entender la tasa, el factor y la evolución de una cantidad ayuda a interpretar correctamente estos fenómenos.