Funcion cuadratica
1. ¿Qué es una función cuadrática?
Objetivo de aprendizaje
Reconocer una función cuadrática, identificar sus coeficientes y comprender de manera inicial cómo estos influyen en la forma de su gráfica.
Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado. Esto significa que el mayor exponente de la variable es 2.
Su forma general es:
\[ f(x)=ax^2+bx+c \]
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales y, además, \(a\neq 0\).
- \(a\): es el coeficiente del término cuadrático \(x^2\).
- \(b\): es el coeficiente del término lineal \(x\).
- \(c\): es el término independiente.
Si \(a=0\), la expresión deja de ser cuadrática, porque desaparece el término \(x^2\).
Aunque más adelante estudiaremos la gráfica con mayor detalle, desde ya podemos adelantar estas ideas:
- Si \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba.
- Si \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo.
- El valor de \(c\) indica el corte con el eje \(y\), porque \(f(0)=c\).
No toda expresión algebraica con \(x\) es cuadrática. Para que sea cuadrática, el mayor exponente de la variable debe ser 2 y el coeficiente de \(x^2\) debe ser distinto de 0.
Desarrollo conceptual
Para decidir si una función es cuadrática, conviene revisar dos cosas:
- Que aparezca un término con \(x^2\).
- Que no existan potencias mayores que 2.
Por ejemplo, \(2x^2+3x-5\) sí es cuadrática, pero \(4x+1\) no lo es, porque no tiene término cuadrático.
Ejemplos
Ejemplo 1: identificar coeficientes
Consideremos la función:
\[ f(x)=2x^2+3x-5 \]
Comparándola con la forma general \(f(x)=ax^2+bx+c\), se obtiene:
- \(a=2\)
- \(b=3\)
- \(c=-5\)
Como el mayor exponente de \(x\) es 2 y \(a\neq 0\), esta función sí es cuadrática.
Ejemplo 2: concavidad inicial y corte con eje \(y\)
Consideremos la función:
\[ f(x)=-x^2+4x+1 \]
Aquí:
- \(a=-1\)
- \(b=4\)
- \(c=1\)
Como \(a<0\), la parábola se abrirá hacia abajo.
Además, como \(c=1\), el corte con el eje \(y\) será el punto \((0,1)\).
Ejemplo 3: un caso que no es cuadrático
Observemos la expresión:
\[ f(x)=4x+1 \]
Esta función no es cuadrática, porque no tiene término con \(x^2\).
En este caso, el mayor exponente de la variable es 1, por lo tanto corresponde a una función lineal.
Ejercicios
Ejercicio 1
Indica si la siguiente función es cuadrática. Justifica brevemente.
\[ f(x)=3x^2-x+7 \]
Sí, es una función cuadrática.
La expresión tiene la forma \(ax^2+bx+c\).
En este caso:
- \(a=3\)
- \(b=-1\)
- \(c=7\)
El mayor exponente de \(x\) es 2 y el coeficiente de \(x^2\) es distinto de 0. Por eso, sí corresponde a una función cuadrática.
Ejercicio 2
Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la función:
\[ f(x)=5x-3-2x^2 \]
Para identificar los coeficientes, no importa el orden en que estén escritos los términos.
Lo importante es reconocer cada tipo de término:
- el término cuadrático es \(-2x^2\), por lo tanto \(a=-2\);
- el término lineal es \(5x\), por lo tanto \(b=5\);
- el término independiente es \(-3\), por lo tanto \(c=-3\).
Entonces, los coeficientes son:
- \(a=-2\)
- \(b=5\)
- \(c=-3\)
Ejercicio 3
¿La siguiente función es cuadrática? Explica.
\[ f(x)=4x+1 \]
No, no es una función cuadrática.
La expresión no tiene término con \(x^2\).
El mayor exponente de la variable es 1, así que corresponde a una función lineal, no a una función cuadrática.
Ejercicio 4
Determina los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) en la función:
\[ f(x)=-6x+x^2 \]
Aunque la función no esté escrita en el orden usual, igual podemos identificar sus términos.
Reordenándola mentalmente, queda:
\[ f(x)=x^2-6x+0 \]
Ahora se reconocen los coeficientes:
- \(a=1\)
- \(b=-6\)
- \(c=0\)
El término independiente no aparece escrito, pero su valor es 0.
Ejercicio 5
Construye una función cuadrática donde:
- \(a=1\)
- \(b=-2\)
- \(c=4\)
Usamos la forma general:
\[ f(x)=ax^2+bx+c \]
Sustituyendo los valores dados:
\[ f(x)=1x^2-2x+4 \]
Se puede escribir de forma más simple como:
\[ f(x)=x^2-2x+4 \]
Esa es una función cuadrática con los coeficientes solicitados.
Ejercicio 6
Indica el valor de \(c\) y señala el punto donde la función corta el eje \(y\):
\[ f(x)=2-3x+5x^2 \]
En una función cuadrática de la forma \(f(x)=ax^2+bx+c\), el término independiente es \(c\).
Aunque la expresión esté desordenada, el término independiente sigue siendo el número que no tiene \(x\).
En este caso, ese término es 2, por lo tanto:
\[ c=2 \]
Además, el corte con el eje \(y\) se obtiene evaluando en \(x=0\):
\[ f(0)=2-3(0)+5(0)^2=2 \]
Por lo tanto, la función corta el eje \(y\) en el punto \((0,2)\).
Ejercicio 7
Indica si la siguiente ecuación es cuadrática o no. Justifica brevemente:
\[ 3x^2-4x+1=0 \]
Sí, es una ecuación cuadrática.
Una ecuación cuadrática es aquella cuyo mayor exponente de la variable es 2.
En \(3x^2-4x+1=0\), el mayor exponente de \(x\) es 2 y el coeficiente del término cuadrático es 3, que es distinto de 0.
Por eso, corresponde a una ecuación cuadrática.