Funcion cuadratica
3. Preimagen de una función cuadrática
Objetivo de aprendizaje
Encontrar la preimagen de un valor en una función cuadrática, resolviendo ecuaciones de la forma \(f(x)=k\) y distinguiendo este proceso de la evaluación de una función.
La preimagen de un número es el o los valores de \(x\) que hacen que la función tome ese valor.
Por ejemplo, si queremos encontrar la preimagen de 4 en una función \(f\), debemos resolver:
\[ f(x)=4 \]
En este caso ya no estamos evaluando, sino buscando qué valor o qué valores de \(x\) producen esa imagen.
Para encontrar la preimagen de un número \(k\) en una función cuadrática, se sigue este procedimiento:
- Se iguala la función a \(k\).
- Se ordena la ecuación en forma cuadrática.
- Se resuelve la ecuación resultante.
- Las soluciones encontradas corresponden a la preimagen de \(k\).
En la evaluación, el valor de \(x\) es conocido y se calcula \(f(x)\).
En la preimagen, el valor de \(f(x)\) es conocido y se busca \(x\).
Al buscar una preimagen, no basta con reemplazar un número en la función. Primero hay que plantear una ecuación.
Además, una función cuadrática puede tener:
- dos preimágenes,
- una sola preimagen,
- o ninguna preimagen real.
Desarrollo conceptual
En muchas funciones cuadráticas, distintos valores de \(x\) pueden producir una misma imagen.
Por eso, al resolver \(f(x)=k\), a veces aparecen dos soluciones distintas.
También puede ocurrir que solo exista una solución o que no haya solución en los números reales.
Ejemplos
Ejemplo 1: preimagen de 0
Encuentra la preimagen de 0 en la función:
\[ f(x)=x^2-4x+4 \]
Planteamos la ecuación:
\[ x^2-4x+4=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-2)^2=0 \]
Entonces:
\[ x=2 \]
Por lo tanto, la preimagen de 0 es \(x=2\).
Ejemplo 2: preimagen de un número distinto de 0
Encuentra la preimagen de 4 en la función:
\[ f(x)=x^2-2x \]
Igualamos la función a 4:
\[ x^2-2x=4 \]
Llevamos todo al mismo lado:
\[ x^2-2x-4=0 \]
Aplicamos fórmula cuadrática:
\[ x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-4)}}{2(1)} \]
\[ x=\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{2} \]
\[ x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2} \]
\[ x=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2} \]
\[ x=1\pm\sqrt{5} \]
Por lo tanto, la preimagen de 4 es:
\[ x=1-\sqrt{5} \qquad \text{y} \qquad x=1+\sqrt{5} \]
Ejemplo 3: un caso sin preimagen real
Encuentra la preimagen de \(-3\) en la función:
\[ f(x)=x^2+2x+1 \]
Planteamos la ecuación:
\[ x^2+2x+1=-3 \]
Llevamos todo al mismo lado:
\[ x^2+2x+4=0 \]
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=b^2-4ac=2^2-4(1)(4)=4-16=-12 \]
Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución en los números reales.
Por lo tanto, \(-3\) no tiene preimagen real en esta función.
Ejercicios
Ejercicio 1
Encuentra la preimagen de 0 en la función:
\[ f(x)=2x^2-8x+6 \]
Buscamos los valores de \(x\) para los cuales \(f(x)=0\):
\[ 2x^2-8x+6=0 \]
Dividimos toda la ecuación por 2:
\[ x^2-4x+3=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-1)(x-3)=0 \]
Entonces:
\[ x=1 \qquad \text{o} \qquad x=3 \]
Por lo tanto, la preimagen de 0 es \(x=1\) y \(x=3\).
Ejercicio 2
Encuentra la preimagen de 4 en la función:
\[ f(x)=x^2-2x-3 \]
Igualamos la función a 4:
\[ x^2-2x-3=4 \]
Llevamos todo al mismo lado:
\[ x^2-2x-7=0 \]
Aplicamos fórmula cuadrática:
\[ x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-7)}}{2(1)} \]
\[ x=\frac{2\pm\sqrt{4+28}}{2} \]
\[ x=\frac{2\pm\sqrt{32}}{2} \]
\[ x=\frac{2\pm 4\sqrt{2}}{2} \]
\[ x=1\pm 2\sqrt{2} \]
Por lo tanto, la preimagen de 4 es \(x=1-2\sqrt{2}\) y \(x=1+2\sqrt{2}\).
Ejercicio 3
Encuentra la preimagen de \(-5\) en la función:
\[ f(x)=x^2+4x+4 \]
Planteamos la ecuación:
\[ x^2+4x+4=-5 \]
Llevamos todo al mismo lado:
\[ x^2+4x+9=0 \]
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=4^2-4(1)(9)=16-36=-20 \]
Como el discriminante es negativo, no hay solución en los números reales.
Por lo tanto, \(-5\) no tiene preimagen real en esta función.
Ejercicio 4
Encuentra la preimagen de 3 en la función:
\[ f(x)=x^2-2x+1 \]
Igualamos la función a 3:
\[ x^2-2x+1=3 \]
Llevamos todo al mismo lado:
\[ x^2-2x-2=0 \]
Aplicamos fórmula cuadrática:
\[ x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} \]
\[ x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2} \]
\[ x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2} \]
\[ x=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2} \]
\[ x=1\pm\sqrt{3} \]
Por lo tanto, la preimagen de 3 es \(x=1-\sqrt{3}\) y \(x=1+\sqrt{3}\).
Ejercicio 5
Encuentra la preimagen de 7 en la función:
\[ f(x)=-x^2+3x-2 \]
Igualamos la función a 7:
\[ -x^2+3x-2=7 \]
Llevamos todo al mismo lado:
\[ -x^2+3x-9=0 \]
Multiplicamos por \(-1\) para trabajar más cómodamente:
\[ x^2-3x+9=0 \]
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=(-3)^2-4(1)(9)=9-36=-27 \]
Como el discriminante es negativo, no hay solución real.
Por lo tanto, 7 no tiene preimagen real en esta función.
Ejercicio 6
Encuentra la preimagen de \(-2\) en la función:
\[ f(x)=-2+x+x^2 \]
Aunque la función está escrita en otro orden, igual podemos trabajar con ella.
Planteamos la ecuación:
\[ -2+x+x^2=-2 \]
Reducimos:
\[ x+x^2=0 \]
Ordenamos:
\[ x^2+x=0 \]
Factorizamos:
\[ x(x+1)=0 \]
Entonces:
\[ x=0 \qquad \text{o} \qquad x=-1 \]
Por lo tanto, la preimagen de \(-2\) es \(x=0\) y \(x=-1\).
Ejercicio 7
Encuentra la preimagen de 2 en la función:
\[ f(x)=3x^2-x+1 \]
Igualamos la función a 2:
\[ 3x^2-x+1=2 \]
Llevamos todo al mismo lado:
\[ 3x^2-x-1=0 \]
Aplicamos fórmula cuadrática:
\[ x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4(3)(-1)}}{2(3)} \]
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{1+12}}{6} \]
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{6} \]
Por lo tanto, la preimagen de 2 es:
\[ x=\frac{1-\sqrt{13}}{6} \qquad \text{y} \qquad x=\frac{1+\sqrt{13}}{6} \]