Funcion cuadratica
7. Eje de simetría de la parábola
Objetivo de aprendizaje
Determinar el eje de simetría de una función cuadrática y relacionarlo con el vértice y con la forma simétrica de la parábola.
El eje de simetría es una recta vertical que divide la parábola en dos partes simétricas.
Esto significa que los puntos que están a igual distancia de esa recta tienen la misma altura.
Si la función cuadrática es
\[ f(x)=ax^2+bx+c \]
entonces su eje de simetría está dado por la recta:
\[ x=\frac{-b}{2a} \]
Esa expresión coincide con la coordenada \(x\) del vértice.
El eje de simetría no es un punto, sino una recta vertical.
Por eso debe escribirse como una ecuación del tipo:
\[ x=k \]
No se debe confundir el eje de simetría con el vértice.
- El vértice es un punto: \((x_v,y_v)\).
- El eje de simetría es una recta: \(x=x_v\).
Desarrollo conceptual
Como el vértice está justo en el centro de la parábola, el eje de simetría siempre pasa por él.
Por eso, si el vértice es \((2,-1)\), entonces el eje de simetría es:
\[ x=2 \]
Ejemplo 1
Determinar el eje de simetría de la función:
\[ f(x)=x^2-4x+3 \]
Identificamos:
- \(a=1\)
- \(b=-4\)
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-(-4)}{2(1)}=\frac{4}{2}=2 \]
Entonces, el eje de simetría es:
\[ x=2 \]
Ejemplo 2
Determinar el eje de simetría de la función:
\[ f(x)=-2x^2+4x-1 \]
Identificamos:
- \(a=-2\)
- \(b=4\)
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-4}{2(-2)}=\frac{-4}{-4}=1 \]
Entonces, el eje de simetría es:
\[ x=1 \]
Ejemplo 3
Observemos una función escrita en otro orden:
\[ f(x)=7+4x-x^2 \]
Reordenando mentalmente:
\[ f(x)=-x^2+4x+7 \]
Entonces:
- \(a=-1\)
- \(b=4\)
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-4}{2(-1)}=\frac{-4}{-2}=2 \]
Por lo tanto, el eje de simetría es:
\[ x=2 \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Determina el eje de simetría de la función:
\[ f(x)=x^2+6x+8 \]
Identificamos:
- \(a=1\)
- \(b=6\)
Aplicamos la fórmula del eje de simetría:
\[ x=\frac{-6}{2(1)}=\frac{-6}{2}=-3 \]
Por lo tanto, el eje de simetría es:
\[ x=-3 \]
Ejercicio 2
Determina el eje de simetría de la función:
\[ f(x)=-x^2+2x+3 \]
Identificamos:
- \(a=-1\)
- \(b=2\)
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-2}{2(-1)}=\frac{-2}{-2}=1 \]
Entonces, el eje de simetría es:
\[ x=1 \]
Ejercicio 3
Determina el eje de simetría de la función:
\[ f(x)=2x^2-8x+5 \]
Identificamos:
- \(a=2\)
- \(b=-8\)
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-(-8)}{2(2)}=\frac{8}{4}=2 \]
Por lo tanto, el eje de simetría es:
\[ x=2 \]
Ejercicio 4
Determina el eje de simetría de la función:
\[ f(x)=6-4x+x^2 \]
Aunque la función esté escrita en otro orden, podemos reconocer sus coeficientes.
Reordenando mentalmente:
\[ f(x)=x^2-4x+6 \]
Entonces:
- \(a=1\)
- \(b=-4\)
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-(-4)}{2(1)}=\frac{4}{2}=2 \]
Por lo tanto, el eje de simetría es:
\[ x=2 \]
Ejercicio 5
Encuentra el eje de simetría y explica qué relación tiene con el vértice de la función:
\[ f(x)=-3x^2+12x-7 \]
Primero hallamos el eje de simetría.
Aquí:
- \(a=-3\)
- \(b=12\)
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-12}{2(-3)}=\frac{-12}{-6}=2 \]
Entonces, el eje de simetría es:
\[ x=2 \]
La relación con el vértice es que esta recta pasa exactamente por él.
De hecho, en esta función el vértice tiene coordenada \(x=2\), por eso el eje de simetría es la recta vertical \(x=2\).
Ejercicio 6
Dos funciones cuadráticas son:
\[ f(x)=x^2-4x+1 \qquad\text{y}\qquad g(x)=-x^2+4x+6 \]
Determina el eje de simetría de cada una y compara los resultados.
Para \(f(x)=x^2-4x+1\):
- \(a=1\)
- \(b=-4\)
\[ x=\frac{-(-4)}{2(1)}=\frac{4}{2}=2 \]
Entonces, el eje de simetría de \(f\) es:
\[ x=2 \]
Para \(g(x)=-x^2+4x+6\):
- \(a=-1\)
- \(b=4\)
\[ x=\frac{-4}{2(-1)}=\frac{-4}{-2}=2 \]
Entonces, el eje de simetría de \(g\) también es:
\[ x=2 \]
Comparación: ambas funciones tienen el mismo eje de simetría, aunque una se abre hacia arriba y la otra hacia abajo.
Ejercicio 7
Construye una función cuadrática cuyo eje de simetría sea \(x=-1\). Da un ejemplo y justifica.
Queremos una función cuadrática cuyo eje de simetría sea:
\[ x=-1 \]
Un ejemplo simple es:
\[ f(x)=x^2+2x+3 \]
Verificamos:
- \(a=1\)
- \(b=2\)
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-2}{2(1)}=\frac{-2}{2}=-1 \]
Entonces, esta función sí tiene eje de simetría \(x=-1\).
También podrían existir otras respuestas correctas, por ejemplo:
\[ f(x)=2x^2+4x-5 \]
ya que en ese caso:
\[ x=\frac{-4}{2(2)}=\frac{-4}{4}=-1 \]