Funcion cuadratica
9. Recorrido de una función cuadrática
Objetivo de aprendizaje
Determinar el recorrido de una función cuadrática a partir del vértice y de la concavidad de la parábola, expresándolo correctamente en lenguaje verbal y en intervalos.
El recorrido de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar \(y=f(x)\).
En una función cuadrática, el recorrido depende del vértice y de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
Si el vértice de la parábola es \((x_v,y_v)\), entonces:
- si \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba y el recorrido es \[ [\,y_v,\infty) \]
- si \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo y el recorrido es \[ (-\infty,\,y_v] \]
El recorrido se obtiene mirando la coordenada \(y\) del vértice:
- si hay mínimo, el recorrido parte en ese valor y sigue hacia arriba;
- si hay máximo, el recorrido llega hasta ese valor y sigue hacia abajo.
No hay que confundir el dominio con el recorrido.
- El dominio se refiere a los valores de \(x\).
- El recorrido se refiere a los valores de \(y\).
Tampoco hay que escribir solo el valor máximo o mínimo: el recorrido es un conjunto de valores, no un solo número.
Desarrollo conceptual
En la página anterior vimos que el vértice puede representar un máximo o un mínimo.
Ahora usaremos esa idea para describir todos los valores posibles de la función:
- si el valor extremo es un mínimo, entonces la función nunca toma valores menores que ese;
- si el valor extremo es un máximo, entonces la función nunca toma valores mayores que ese.
Ejemplo 1
Determine el recorrido de la función:
\[ f(x)=x^2-4x+3 \]
Ya sabemos que su vértice es:
\[ (2,-1) \]
Además, como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba. Entonces el vértice corresponde a un mínimo.
Eso significa que la función nunca toma valores menores que \(-1\).
Por lo tanto, su recorrido es:
\[ [ -1,\infty ) \]
Ejemplo 2
Determine el recorrido de la función:
\[ f(x)=-2x^2+4x-1 \]
Su vértice es:
\[ (1,1) \]
Como \(a=-2<0\), la parábola se abre hacia abajo. Entonces el vértice corresponde a un máximo.
Eso significa que la función nunca toma valores mayores que \(1\).
Por lo tanto, su recorrido es:
\[ (-\infty,1 ] \]
Ejemplo 3
Determine el recorrido de la función:
\[ f(x)=6-4x+x^2 \]
Reordenamos mentalmente:
\[ f(x)=x^2-4x+6 \]
Calculamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-(-4)}{2(1)}=2 \]
\[ y_v=f(2)=6-4(2)+2^2=6-8+4=2 \]
Entonces, el vértice es \((2,2)\).
Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba, así que tiene mínimo en \(y=2\).
Por lo tanto, el recorrido es:
\[ [2,\infty) \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Determina el recorrido de la función:
\[ f(x)=x^2+6x+8 \]
Primero recordamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-6}{2(1)}=-3 \]
\[ y_v=f(-3)=(-3)^2+6(-3)+8=9-18+8=-1 \]
Entonces, el vértice es:
\[ (-3,-1) \]
Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba y por eso tiene mínimo en \(-1\).
Por lo tanto, el recorrido es:
\[ [-1,\infty) \]
Ejercicio 2
Determina el recorrido de la función:
\[ f(x)=-x^2+2x+3 \]
Primero hallamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=1 \]
\[ y_v=f(1)=-(1)^2+2(1)+3=-1+2+3=4 \]
Entonces, el vértice es:
\[ (1,4) \]
Como \(a=-1<0\), la parábola se abre hacia abajo y por eso tiene máximo en \(4\).
Por lo tanto, el recorrido es:
\[ (-\infty,4] \]
Ejercicio 3
Determina el recorrido de la función:
\[ f(x)=2x^2-8x+5 \]
Calculamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-(-8)}{2(2)}=\frac{8}{4}=2 \]
\[ y_v=f(2)=2(2)^2-8(2)+5=8-16+5=-3 \]
El vértice es:
\[ (2,-3) \]
Como \(a=2>0\), la parábola se abre hacia arriba, así que tiene mínimo en \(-3\).
Por lo tanto, el recorrido es:
\[ [-3,\infty) \]
Ejercicio 4
Determina el recorrido de la función:
\[ f(x)=-3x^2+12x-7 \]
Calculamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-12}{2(-3)}=\frac{-12}{-6}=2 \]
\[ y_v=f(2)=-3(2)^2+12(2)-7=-12+24-7=5 \]
Entonces, el vértice es:
\[ (2,5) \]
Como \(a=-3<0\), la parábola se abre hacia abajo y por eso tiene máximo en \(5\).
Por lo tanto, el recorrido es:
\[ (-\infty,5] \]
Ejercicio 5
La función está escrita en otro orden. Determina su recorrido:
\[ f(x)=5+2x-x^2 \]
Reordenamos mentalmente:
\[ f(x)=-x^2+2x+5 \]
Calculamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=1 \]
\[ y_v=f(1)=5+2(1)-1^2=5+2-1=6 \]
El vértice es:
\[ (1,6) \]
Como \(a=-1<0\), la parábola se abre hacia abajo, así que tiene máximo en \(6\).
Por lo tanto, el recorrido es:
\[ (-\infty,6] \]
Ejercicio 6
Explica qué significa, en la gráfica, que una función cuadrática tenga recorrido \([2,\infty)\).
Que una función cuadrática tenga recorrido \([2,\infty)\) significa que:
- la parábola se abre hacia arriba;
- el valor más pequeño que toma la función es \(2\);
- la coordenada \(y\) del vértice es \(2\).
En otras palabras, la gráfica nunca baja de \(y=2\), pero sí puede tomar ese valor.
Un ejemplo de función con ese recorrido es:
\[ f(x)=x^2+2 \]
porque su vértice es \((0,2)\).
Ejercicio 7
Construye una función cuadrática cuyo recorrido sea \((-\infty,3]\). Da un ejemplo y justifica.
Queremos una parábola que:
- se abra hacia abajo;
- tenga valor máximo igual a \(3\).
Un ejemplo simple es:
\[ f(x)=-x^2+3 \]
Verificamos:
- \(a=-1<0\), por eso la parábola se abre hacia abajo;
- su vértice es \((0,3)\), así que el valor máximo es \(3\).
Por lo tanto, el recorrido es:
\[ (-\infty,3] \]