Funcion cuadratica
14. Signo de una función cuadrática
Signo de una función cuadrática
Objetivo de aprendizaje
Determinar cuándo una función cuadrática es positiva, negativa o nula, relacionando esta información con sus ceros y con la posición de la parábola respecto del eje \(x\).
Estudiar el signo de una función significa determinar en qué valores de \(x\):
- \(f(x)>0\), es decir, la función es positiva;
- \(f(x)<0\), es decir, la función es negativa;
- \(f(x)=0\), es decir, la función vale cero.
En una función cuadrática, esto se interpreta observando la posición de la parábola respecto del eje \(x\).
- Encontrar los ceros de la función resolviendo \(f(x)=0\).
- Determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
- Leer en qué intervalos la gráfica está sobre el eje \(x\) o bajo él.
- Si la parábola está sobre el eje \(x\), entonces \(f(x)>0\).
- Si la parábola está bajo el eje \(x\), entonces \(f(x)<0\).
- Si la parábola toca o corta el eje \(x\), en esos puntos se cumple \(f(x)=0\).
Los ceros no se incluyen dentro de los intervalos donde la función es positiva o negativa.
Por eso, si una función tiene ceros en \(x=1\) y \(x=3\), los intervalos se escriben con paréntesis:
\[ (-\infty,1)\cup(3,\infty) \qquad \text{y} \qquad (1,3) \]
Desarrollo conceptual
Los ceros dividen la recta real en intervalos. En cada uno de esos intervalos, la función mantiene signo positivo o negativo.
Por eso, estudiar el signo de una función cuadrática consiste en combinar dos ideas:
- sus intersecciones con el eje \(x\);
- la concavidad de la parábola.
Ejemplo 1: parábola que se abre hacia arriba y corta en dos puntos
Estudiemos el signo de la función:
\[ f(x)=x^2-4x+3 \]
Primero encontramos sus ceros:
\[ x^2-4x+3=0 \]
\[ (x-1)(x-3)=0 \]
\[ x=1 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]
Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.
Entonces:
- \(f(x)>0\) en \((-\infty,1)\cup(3,\infty)\)
- \(f(x)<0\) en \((1,3)\)
- \(f(x)=0\) en \(x=1\) y \(x=3\)
Ejemplo 2: parábola que se abre hacia abajo y corta en dos puntos
Estudiemos el signo de la función:
\[ f(x)=-x^2+2x+3 \]
Buscamos los ceros:
\[ -x^2+2x+3=0 \]
\[ x^2-2x-3=0 \]
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
Como \(a=-1<0\), la parábola se abre hacia abajo.
Entonces:
- \(f(x)>0\) en \((-1,3)\)
- \(f(x)<0\) en \((-\infty,-1)\cup(3,\infty)\)
- \(f(x)=0\) en \(x=-1\) y \(x=3\)
Ejemplo 3: función siempre positiva
Estudiemos el signo de la función:
\[ f(x)=x^2+2x+3 \]
Ya sabemos que esta función no tiene ceros reales.
Además, como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.
Su vértice es:
\[ x_v=\frac{-2}{2(1)}=-1 \]
\[ y_v=f(-1)=(-1)^2+2(-1)+3=1-2+3=2 \]
Como el valor mínimo es 2 y es positivo, la función está siempre sobre el eje \(x\).
Entonces:
- \(f(x)>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\)
- no hay intervalos donde \(f(x)<0\)
- no tiene ceros reales
Ejercicios
Ejercicio 1
Estudia el signo de la función:
\[ f(x)=x^2+6x+8 \]
Buscamos los ceros:
\[ x^2+6x+8=0 \]
\[ (x+2)(x+4)=0 \]
\[ x=-2 \qquad \text{y} \qquad x=-4 \]
Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.
Entonces:
- \(f(x)>0\) en \((-\infty,-4)\cup(-2,\infty)\)
- \(f(x)<0\) en \((-4,-2)\)
- \(f(x)=0\) en \(x=-4\) y \(x=-2\)
Ejercicio 2
Estudia el signo de la función:
\[ f(x)=-x^2+2x+3 \]
Hallamos los ceros:
\[ -x^2+2x+3=0 \]
\[ x^2-2x-3=0 \]
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
Como \(a=-1<0\), la parábola se abre hacia abajo.
Entonces:
- \(f(x)>0\) en \((-1,3)\)
- \(f(x)<0\) en \((-\infty,-1)\cup(3,\infty)\)
- \(f(x)=0\) en \(x=-1\) y \(x=3\)
Ejercicio 3
Estudia el signo de la función:
\[ f(x)=x^2-2x+1 \]
Buscamos los ceros:
\[ x^2-2x+1=0 \]
\[ (x-1)^2=0 \]
\[ x=1 \]
Como la raíz está repetida, la parábola toca el eje \(x\) en \(x=1\).
Además, como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.
Entonces:
- \(f(x)>0\) en \((-\infty,1)\cup(1,\infty)\)
- no hay intervalos donde \(f(x)<0\)
- \(f(x)=0\) solo en \(x=1\)
Ejercicio 4
Estudia el signo de la función:
\[ f(x)=x^2+4x+5 \]
Calculamos si tiene ceros reales:
\[ \Delta=4^2-4(1)(5)=16-20=-4 \]
Como el discriminante es negativo, no tiene ceros reales.
Además, como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.
Calculamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-4}{2(1)}=-2 \]
\[ y_v=f(-2)=(-2)^2+4(-2)+5=4-8+5=1 \]
El valor mínimo es 1, que es positivo.
Entonces:
- \(f(x)>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\)
- no hay intervalos donde \(f(x)<0\)
- no tiene ceros reales
Ejercicio 5
La función está escrita en otro orden. Estudia su signo:
\[ f(x)=6-5x+x^2 \]
Reordenamos mentalmente:
\[ f(x)=x^2-5x+6 \]
Buscamos los ceros:
\[ x^2-5x+6=0 \]
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]
Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.
Entonces:
- \(f(x)>0\) en \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\)
- \(f(x)<0\) en \((2,3)\)
- \(f(x)=0\) en \(x=2\) y \(x=3\)
Ejercicio 6
Explica qué significa, en la gráfica, que una función cuadrática sea negativa en el intervalo \((1,4)\).
Que una función cuadrática sea negativa en \((1,4)\) significa que, para todos los valores de \(x\) entre 1 y 4, la gráfica de la parábola está bajo el eje \(x\).
Es decir, en ese intervalo se cumple:
\[ f(x)<0 \]
Eso suele ocurrir cuando la parábola corta al eje \(x\) en \(x=1\) y en \(x=4\), y entre esos puntos queda bajo el eje.
Ejercicio 7
Construye una función cuadrática que sea positiva para todo número real. Da un ejemplo y justifica.
Queremos una función cuadrática cuya gráfica quede completamente sobre el eje \(x\).
Un ejemplo simple es:
\[ f(x)=x^2+1 \]
Justificación:
- \(a=1>0\), por eso la parábola se abre hacia arriba;
- su vértice es \((0,1)\), así que el valor mínimo es \(1\), que es positivo.
Entonces, la función nunca toma valores negativos ni cero.
Por lo tanto:
\[ f(x)>0 \quad \text{para todo } x\in\mathbb{R} \]