Funcion cuadratica
16. Problemas de cálculo directo con funciones cuadráticas
Objetivo de aprendizaje
Aplicar de manera integrada los procedimientos de evaluación, cálculo de vértice y determinación de ceros en funciones cuadráticas, resolviendo problemas directos sin contexto.
En esta página reuniremos varios procedimientos que ya hemos estudiado por separado:
- evaluar una función cuadrática;
- hallar el vértice;
- determinar los ceros de la función.
La idea es aplicar estas herramientas de forma directa, reconociendo qué cálculo corresponde hacer en cada caso.
Evaluación:
\[ f(a) \quad \text{se obtiene reemplazando } x \text{ por } a \]
Vértice:
\[ x_v=\frac{-b}{2a} \qquad \text{y} \qquad y_v=f(x_v) \]
Ceros:
\[ f(x)=0 \]
Se pueden hallar por factorización o por fórmula cuadrática, según convenga.
Antes de comenzar a calcular, conviene preguntarse:
- ¿me están pidiendo una imagen?
- ¿me están pidiendo el vértice?
- ¿me están pidiendo los ceros?
Reconocer el tipo de problema es tan importante como hacer bien las operaciones.
En estos ejercicios no siempre se pide lo mismo. A veces los estudiantes hallan el vértice cuando en realidad se pedía evaluar, o buscan los ceros cuando solo se pedía una imagen.
Por eso, antes de resolver, identifica con claridad qué te está pidiendo el enunciado.
Ejemplo 1: evaluación directa
Considere la función:
\[ f(x)=2x^2-3x+1 \]
Calcule \(f(3)\).
Reemplazamos \(x\) por 3:
\[ f(3)=2(3)^2-3(3)+1 \]
\[ f(3)=2(9)-9+1 \]
\[ f(3)=18-9+1=10 \]
Por lo tanto:
\[ f(3)=10 \]
Ejemplo 2: vértice
Considere la función:
\[ f(x)=x^2-6x+5 \]
Halle el vértice.
Identificamos \(a=1\) y \(b=-6\).
\[ x_v=\frac{-(-6)}{2(1)}=\frac{6}{2}=3 \]
Ahora calculamos la coordenada \(y\):
\[ y_v=f(3)=3^2-6(3)+5 \]
\[ y_v=9-18+5=-4 \]
Entonces, el vértice es:
\[ (3,-4) \]
Ejemplo 3: ceros de la función
Considere la función:
\[ f(x)=x^2-5x+6 \]
Determine sus ceros.
Planteamos:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Entonces:
\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]
Por lo tanto, los ceros de la función son \(2\) y \(3\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Considere la función:
\[ f(x)=3x^2-2x+1 \]
Calcule \(f(2)\).
Reemplazamos \(x\) por 2:
\[ f(2)=3(2)^2-2(2)+1 \]
\[ f(2)=3(4)-4+1 \]
\[ f(2)=12-4+1=9 \]
Por lo tanto:
\[ f(2)=9 \]
Ejercicio 2
Considere la función:
\[ f(x)=-x^2+5x-4 \]
Calcule \(f(1)\).
Reemplazamos \(x\) por 1:
\[ f(1)=-(1)^2+5(1)-4 \]
\[ f(1)=-1+5-4 \]
\[ f(1)=0 \]
Por lo tanto:
\[ f(1)=0 \]
Ejercicio 3
Considere la función:
\[ f(x)=x^2+4x+1 \]
Halle su vértice.
Identificamos:
- \(a=1\)
- \(b=4\)
Calculamos la coordenada \(x\) del vértice:
\[ x_v=\frac{-4}{2(1)}=\frac{-4}{2}=-2 \]
Ahora calculamos la coordenada \(y\):
\[ y_v=f(-2)=(-2)^2+4(-2)+1 \]
\[ y_v=4-8+1=-3 \]
Entonces, el vértice es:
\[ (-2,-3) \]
Ejercicio 4
Considere la función:
\[ f(x)=-2x^2+8x-3 \]
Halle su vértice.
Identificamos:
- \(a=-2\)
- \(b=8\)
Calculamos:
\[ x_v=\frac{-8}{2(-2)}=\frac{-8}{-4}=2 \]
Ahora evaluamos:
\[ y_v=f(2)=-2(2)^2+8(2)-3 \]
\[ y_v=-2(4)+16-3 \]
\[ y_v=-8+16-3=5 \]
Entonces, el vértice es:
\[ (2,5) \]
Ejercicio 5
Considere la función:
\[ f(x)=x^2-7x+12 \]
Determine sus ceros.
Planteamos:
\[ x^2-7x+12=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-3)(x-4)=0 \]
Entonces:
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=4 \]
Por lo tanto, los ceros de la función son \(3\) y \(4\).
Ejercicio 6
Considere la función:
\[ f(x)=6-5x+x^2 \]
Determine sus ceros.
Reordenamos mentalmente:
\[ f(x)=x^2-5x+6 \]
Planteamos:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Entonces:
\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]
Por lo tanto, los ceros de la función son \(2\) y \(3\).
Ejercicio 7
Considere la función:
\[ f(x)=x^2-2x-3 \]
Realice los tres cálculos siguientes:
- calcule \(f(4)\);
- halle el vértice;
- determine sus ceros.
1. Evaluación
\[ f(4)=4^2-2(4)-3 \]
\[ f(4)=16-8-3=5 \]
Entonces:
\[ f(4)=5 \]
2. Vértice
Aquí \(a=1\) y \(b=-2\).
\[ x_v=\frac{-(-2)}{2(1)}=\frac{2}{2}=1 \]
Ahora calculamos \(y_v\):
\[ y_v=f(1)=1^2-2(1)-3 \]
\[ y_v=1-2-3=-4 \]
Entonces, el vértice es:
\[ (1,-4) \]
3. Ceros
Planteamos:
\[ x^2-2x-3=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
Entonces:
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
Por lo tanto, los ceros de la función son \(-1\) y \(3\).