Funcion cuadratica
17. Problemas contextualizados con funciones cuadráticas
Objetivo de aprendizaje
Interpretar funciones cuadráticas en situaciones reales, aplicando evaluación, vértice, ceros, recorrido y signo para responder preguntas contextualizadas.
En estas situaciones, la función cuadrática no aparece sola: representa una altura, un área, una ganancia u otra cantidad de interés.
Por eso, además de calcular correctamente, debemos interpretar qué significa cada resultado dentro del contexto.
- Evaluación: permite conocer el valor de la magnitud en un instante o caso particular.
- Vértice: permite identificar un máximo o un mínimo.
- Ceros: permiten encontrar cuándo una magnitud vale 0.
- Signo: permite saber cuándo una cantidad es positiva o negativa.
Conviene preguntarse:
- ¿qué representa la variable \(x\) o \(t\)?
- ¿qué representa \(f(x)\) o \(h(t)\)?
- ¿el resultado que obtuve tiene sentido en el contexto?
En problemas contextualizados, no siempre todas las soluciones algebraicas tienen sentido práctico.
Por ejemplo, si una variable representa tiempo, no suele tener sentido considerar tiempos negativos.
Ejemplo 1: altura de una pelota
La altura de una pelota, en metros, está dada por:
\[ h(t)=-t^2+4t+1 \]
donde \(t\) representa el tiempo en segundos.
Queremos saber cuál es la altura máxima que alcanza la pelota.
Como se trata de una parábola que se abre hacia abajo, la altura máxima está en el vértice.
\[ t_v=\frac{-4}{2(-1)}=2 \]
Ahora evaluamos:
\[ h(2)=-(2)^2+4(2)+1 \]
\[ h(2)=-4+8+1=5 \]
Entonces, la pelota alcanza su altura máxima a los 2 segundos, y esa altura máxima es 5 metros.
Ejemplo 2: área de un rectángulo
El área de un rectángulo, en metros cuadrados, está dada por:
\[ A(x)=-x^2+12x \]
donde \(x\) representa una de las medidas del rectángulo, en metros.
Queremos determinar el área máxima.
Como \(a=-1<0\), la parábola se abre hacia abajo y el área máxima está en el vértice.
\[ x_v=\frac{-12}{2(-1)}=6 \]
Evaluamos:
\[ A(6)=-(6)^2+12(6) \]
\[ A(6)=-36+72=36 \]
Por lo tanto, el área máxima es 36 m² y se alcanza cuando \(x=6\).
Ejemplo 3: ganancia positiva
La ganancia de un negocio, en miles de pesos, está dada por:
\[ G(x)=-x^2+7x-10 \]
donde \(x\) representa decenas de productos vendidos.
Queremos saber para qué valores de \(x\) la ganancia es positiva.
Buscamos primero los ceros:
\[ -x^2+7x-10=0 \]
\[ x^2-7x+10=0 \]
\[ (x-5)(x-2)=0 \]
\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=5 \]
Como la parábola se abre hacia abajo, la ganancia es positiva entre los ceros:
\[ 2<x<5 \]
Como \(x\) representa decenas de productos, la ganancia es positiva cuando se venden entre 20 y 50 productos, sin incluir los extremos.
Ejercicios
Ejercicio 1
La altura de una pelota, en metros, está dada por:
\[ h(t)=-t^2+6t+2 \]
donde \(t\) representa el tiempo en segundos.
Determina la altura inicial y la altura máxima que alcanza la pelota.
Altura inicial
La altura inicial se obtiene en \(t=0\):
\[ h(0)=-(0)^2+6(0)+2=2 \]
Entonces, la altura inicial es 2 metros.
Altura máxima
Como la parábola se abre hacia abajo, la altura máxima está en el vértice.
\[ t_v=\frac{-6}{2(-1)}=3 \]
\[ h(3)=-(3)^2+6(3)+2=-9+18+2=11 \]
Por lo tanto, la altura máxima es 11 metros y se alcanza a los 3 segundos.
Ejercicio 2
La altura de una pelota, en metros, está dada por:
\[ h(t)=-t^2+5t \]
donde \(t\) representa el tiempo en segundos.
¿En qué instante la pelota vuelve a tocar el suelo?
La pelota toca el suelo cuando su altura vale 0, es decir, cuando:
\[ -t^2+5t=0 \]
Factorizamos:
\[ t(-t+5)=0 \]
Entonces:
\[ t=0 \qquad \text{ó} \qquad t=5 \]
El valor \(t=0\) representa el instante inicial de lanzamiento.
Por lo tanto, la pelota vuelve a tocar el suelo a los 5 segundos.
Ejercicio 3
El área de un rectángulo, en metros cuadrados, está dada por:
\[ A(x)=-x^2+10x \]
donde \(x\) representa una de las medidas del rectángulo.
Determina el área máxima y el valor de \(x\) para el cual se obtiene.
Como la parábola se abre hacia abajo, el área máxima está en el vértice.
\[ x_v=\frac{-10}{2(-1)}=5 \]
Ahora evaluamos:
\[ A(5)=-(5)^2+10(5) \]
\[ A(5)=-25+50=25 \]
Entonces, el área máxima es 25 m² y se obtiene cuando \(x=5\).
Ejercicio 4
La ganancia de una empresa, en miles de pesos, está dada por:
\[ G(x)=-2x^2+40x+50 \]
donde \(x\) representa la cantidad de lotes producidos en un día.
Determina cuántos lotes deben producirse para obtener la ganancia máxima y cuál es esa ganancia.
Como la parábola se abre hacia abajo, la ganancia máxima está en el vértice.
\[ x_v=\frac{-40}{2(-2)}=\frac{-40}{-4}=10 \]
Ahora evaluamos:
\[ G(10)=-2(10)^2+40(10)+50 \]
\[ G(10)=-200+400+50=250 \]
Por lo tanto, deben producirse 10 lotes para obtener la ganancia máxima, y esa ganancia es 250 miles de pesos.
Ejercicio 5
La altura de un arco, en metros, está dada por:
\[ h(x)=-x^2+8x+9 \]
donde \(x\) representa la posición horizontal.
Determina en qué puntos el arco toca el suelo y cuál es su ancho total a nivel del suelo.
El arco toca el suelo cuando \(h(x)=0\):
\[ -x^2+8x+9=0 \]
\[ x^2-8x-9=0 \]
Factorizamos:
\[ (x-9)(x+1)=0 \]
Entonces:
\[ x=9 \qquad \text{ó} \qquad x=-1 \]
Por lo tanto, el arco toca el suelo en \(x=-1\) y en \(x=9\).
Su ancho total a nivel del suelo es:
\[ 9-(-1)=10 \]
Entonces, el ancho total del arco es 10 metros.
Ejercicio 6
La ganancia de un negocio, en miles de pesos, está dada por:
\[ G(x)=-x^2+7x-10 \]
donde \(x\) representa decenas de productos vendidos.
¿Para qué valores de \(x\) la ganancia es positiva?
Buscamos primero los ceros:
\[ -x^2+7x-10=0 \]
\[ x^2-7x+10=0 \]
\[ (x-5)(x-2)=0 \]
Entonces:
\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=5 \]
Como la parábola se abre hacia abajo, la ganancia es positiva entre los ceros:
\[ 2<x<5 \]
Como \(x\) representa decenas de productos, la ganancia es positiva cuando se venden entre 20 y 50 productos, sin incluir los extremos.
Ejercicio 7
La altura de un dron, en metros, está dada por:
\[ h(t)=-t^2+6t+7 \]
donde \(t\) representa el tiempo en segundos.
Determina:
- la altura inicial;
- la altura máxima;
- el instante en que toca el suelo.
1. Altura inicial
\[ h(0)=-(0)^2+6(0)+7=7 \]
La altura inicial es 7 metros.
2. Altura máxima
Como la parábola se abre hacia abajo, la altura máxima está en el vértice.
\[ t_v=\frac{-6}{2(-1)}=3 \]
\[ h(3)=-(3)^2+6(3)+7=-9+18+7=16 \]
Entonces, la altura máxima es 16 metros y se alcanza a los 3 segundos.
3. Instante en que toca el suelo
Buscamos cuándo \(h(t)=0\):
\[ -t^2+6t+7=0 \]
\[ t^2-6t-7=0 \]
\[ (t-7)(t+1)=0 \]
Entonces:
\[ t=7 \qquad \text{ó} \qquad t=-1 \]
Como el tiempo negativo no tiene sentido en este contexto, la respuesta válida es:
\[ t=7 \]
Por lo tanto, el dron toca el suelo a los 7 segundos.